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del sistema 



n j «u fi + «22 *?! + «ss Cì + 2a i2 ^ iy, + 2a 23 rjt £, + 2« 31 Ci fi 



(s) | tei + hi + y£i? ; 



e la seconda l'analogo controvariante del sistema 



( A u & + A 22 + A 33 £? + 2A 12 & ^ + 2A 23 »?, ti + 2A 31 f , f , 

 (S) i («?i + ^i + yCif; 



onde risulta cAe condizioni J perchè il sistema dato sia completo,, si 

 ottengono esprimendo che il controvariante del sistema (s) differisce per 

 un fattore da quello di (s'). 



Rimane a mostrare che le condizioni così ottenute sono necessarie e 

 sufficienti, perchè il sistema (1) sia completo. Dalla seconda delle (1) rica- 

 li/' 



viamo l'espressione di — , e sostituiamola nella prima: si trova 

 (a u /? 2 + a 22 « 2 — 2a l2 a/?) + (a 33 /? 2 + a 22 f — 2a ì3 yp) fé0* + 



~òf ~òf 



+ 2 (a 13 /? 2 — a 22 ay — a 23 a/S) — = 0 ; 

 la quale può essere decomposta in due 



^- — £1^7 = 0, ^ — ? 2 ^7 = 0 (posto «n/? 2 + « 22 « 2 — 2a u a/S4=0). 



c'è uX oZ 



Allora è chiaro che le soluzioni del sistema (1) dovranno essere quelle 

 di uno dei due sistemi 



\ — £ Ql = 0 V — - 02 — - = 0 



1 "àr K ~òz } Tiar * ^ 



o di entrambi. In questo secondo caso i due sistemi devono essere Jacobiani; 

 perciò danno luogo a due equazioni di condizione. Le soluzioni del sistema 

 (1) saranno allora sp(»i) e ip((t) 2 ), ove cp e ip sono funzioni arbitrarie dell'ar- 

 gomento indicato; &>i soluzione del primo sistema Jacobiano, w 2 del secondo. 

 Ora è facile vedere che le condizioni in discorso equivalgono a quelle già 



trovate. Infatti, fra la equazione (2) e la seconda delle (1) eliminiamo — ; 

 si ottiene come precedentemente 



(2') (Au /?» + A 22 a- - 2A 12 «/?) {^J+ (A 33 ^ + A 22 f 2A 23 §y) {^J+ 

 + 2(A, 3 /? 2 + A 22 « y _A 12 /? y -A 23 ép)^^ = 0; 



