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la quale, poste le solite restrizioni, si decompone in due: 



7>£ 



= 0 



Poiché la (2) ha tutte le soluzioni del sistema (1), i due sistemi 



(5') 



0 



J ~òf , y + a Q% V 



saranno Jacobiani ; ed è chiaro che non potranno differire dai precedenti (5). 

 Per conseguenza la (2') e la prima delle (V) dovranno avere i coefficienti 

 proporzionali. Se scriviamo che ciò avviene, troviamo precisamente le condi- 

 zioni (4). Risulta quindi dimostrato che il teorema precedentemente enun- 

 ciato dà le condizioni necessarie e sufficienti, perchè il sistema dato sia 

 completo. 



Può avvenire, come abbiamo detto, che uno solo dei sistemi (5) sia 

 Jacobiano. In tal caso i coefficienti delle date equazioni devono soddisfare 

 ad una sola condizione; e la soluzione sarà della forma cp(m), ove <p è il 

 simbolo d' una funzione arbitraria. Tale condizione si può ottenere sotto 

 forma razionale rispetto ai coefficienti. Infatti, se uno dei sistemi (5) è Jaco- 

 biano, tale deve essere anche uno dei sistemi (5 r ). Siano i primi due. Do- 

 vendo ammettere la medesima soluzione, è chiaro che deve essere 0\ — 0\ . 

 Dunque per ottenere la condizione cercata, basterà esprimere colle regole 

 note dell'algebra che la (2') e la prima delle (1'), considerate come equa- 



~òf ~òf 



zioni del 2° grado in — : — , hanno una radice comune. Quando questa 



unica condizione è soddisfatta, si dirà che il sistema (1) è semi-completo. 



2. Il sistema (1) s' incontra in alcune questioni di geometria. 



Sia y(x , y , z) = cost l'equazione di una famiglia di superficie con le 

 assintotiche reali. Considerando sopra ogni superficie della famiglia le assin- 

 totiche di un sistema, si ottiene nello spazio una congruenza di curve. Per 

 quali famiglie g> = cost. tale congruenza è normale ? E per quali sono nor- 

 mali le due congruenze formate colle assintotiche di un sistema e con quelle 

 dell'altro? 



Per risolvere questo problema, indichiamo con f(x ,y,z) = cost. l'equa- 

 zione della famiglia di superfìcie che tagliano ortogonalmente la congruenza 

 formata dalle assintotiche di un sistema. Si avrà pertanto: 



~òx lix ~èy l)s 



