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Inoltre, indicando con dx ,dy , dz gì' incrementi che subiscono le coor- 

 dinate di un punto M , quando si passa da esso ad un punto infinitamente 

 vicino sulla assintotica considerata, e giacente sulla superficie <p = cost. che 

 passa per M , deve essere evidentemente 



dx . d — -f- dy . d — 4- dz . d = 0 , 



ix i>y dz 



e per l'ortogonalità della congruenza 



dx dy_ dz 



~òx !>y ~iz 



Sviluppando i calcoli, si trova subito che, se <p = cost. è una famiglia 

 che gode della proprietà voluta, la funzione f{x ,y,z) deve soddisfare al 

 sistema 



Dx 2 \ìx) T ìy 2 \ìy ) ìz 2 \ìz) 



ìx 1y ~òx ~òy ~òy ~òz ~òy ~ìz ~òz dx 7>z ~òx 



~òè l)x ~òy ~èy ~ìz ~ìz ' 



il quale è della forma del sistema (1). In questo caso le a u , a 22 — sono le 

 derivate seconde di <p , ed a,p,y le derivate prime; per conseguenza le 

 A a , A.> 2 ... conterranno linearmente le derivate terze di <p. Ora per le cose 

 dette, il sistema (6) può essere completo o semi-completo. Perchè avvenga 

 il primo caso, i coefficienti delle (6) devono soddisfare a due condizioni 

 (quelle che si deducono dalle (4)), le quali si traducono in due equazioni 

 alle derivate parziali terze rispetto a y> ; perchè avvenga il secondo, i coeffi- 

 cienti devono essere legati da una sola condizione, che si traduce in una 

 equazione del 3° ordine, alla quale deve soddisfare <p . Ponendo in generale 



4{u , v) — V- + , 



v ~òx i>x oy ~òy ~òz }z 



i coefficienti A rs hanno nel caso presente le espressioni seguenti: 



Rendiconti. 1903, Voi. Xn, 1° Sem. 19 



