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Così, con la scorta delle considerazioni fatte nel paragrafo precedente, 

 si scrivono subito le equazioni differenziali, dalle quali dipende la risolu- 

 zione del problema geometrico proposto. 



Ma noi non scriveremo tali equazioni, perchè a questo problema se ne 

 associa un altro, il quale dà luogo ad equazioni di forma più semplice. 

 Deriviamo, infatti, la seconda delle (6) una volta rispetto a ciascuna varia- 

 bile indipendente; si ottiene 



~ìx 2 ~ùx !>x ìy ìy ~òx ~òz ~òe 



\~òx ~òx % ' ìy lux ~òy ~7>z ~òx ~òz f 

 ed analoghe, le quali trasformano la prima delle (6) nella seguente: 



l>x \~òx ~òx z ~òy ~òx !>y ~òz l>xl>z / 



+ W^!L + ..\ + 2£(i/^!L + ...\ = 0 . 



~òy\~òx ~òy ~òx / ìz \~òx ~òx ~òz / 



Quindi, posto 



ne risulta che il sistema (6) equivale al seguente: 

 (7) 



v _i _i — - — — = (J 



) ~ÒX ~ÒX ~ÒV ~òtl 



~òx ~òx ùy ~òy ~ì>z ^z 

 ~òx ~òx 1 ~òy i'i ^ 



che è di facile interpretazione. Le superficie delle due famiglie H = cost. 

 e / = cost. tagliano ortogonalmente quelle della famiglia y> = cost. ; e poiché, 

 per cose note, le intersezioni delle H = cost. eoa le / = cost sono le linee 

 di equidistanza di / = cost. , si conclude : Le traiettorie ortogonali della 

 famiglia y> = cost. sono le linee di equidistanza della famiglia /=cost. 

 A questa conclusione si poteva anche giungere con un ragionamento pura- 

 mente geometrico. Infatti, le normali di una superficie y> = cost. lungo una 

 delle assintotiche considerate sono le binormali di questa curva ; d' altra 

 parte essa è traiettoria ortogonale della /=cost. , quindi quelle binormali 

 sono le tangenti alle linee d'equidistanza delle /=cost. ; ciò in virtù d'un 

 teorema noto ('). 



Quanto alla famiglia /"=cost. possiamo anche dire che le sue linee 



d'equidistanza formano una congruenza normale. 



(') Morera, Sui sistemi di superficie e loro traiettorie ortogonali (E. Ist. Lomb. 



1886). 



