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iniziale t 0 della variabile indipendente t divengono rispettivamente uguali ai 

 valori iniziali di p x ,p 2 ... p n ; Q\ ... q n '■ allora si ha com' è noto (*) : 



n n 



Z Vn+j dy ó = U dt-\-Yqj dp } + dtp , 

 j'=i j=i 



e cioè si trova per E d quella forma che abbiamo appunto considerata nel § 1 

 della precedente Nota. 



Ma se per le y si prendono degli integrali che per t = i a divengono 

 uguali a funzioni qualunque ma fra loro indipendenti dei valori iniziali delle 

 p e q , la forma della E d in generale non sarà a priori nota, anzi la sua 

 determinazione non si potrà fare senza integrazioni. 



Esaminiamo più specialmente il caso in cui la U non dipenda da t. Si 

 scelga un gruppo canonico cui appartenga U , che ora per simmetria scrive- 

 remo Ui ; e un tal gruppo sia : 



U X ,U 2 ... Un ; V! , V 2 ... V« . 

 Allora gli integrali canonici di [II] sono ( 2 ) : 



TTi , U 2 ... U„ ; V, - t, Y 2 ... , V M 



ed in [I] possiamo assumere: 



y 1 = Y 1 — t;y 2 =f 2 (TJi , U 2 ... U« ; V 2 ... V„) ; ... 



yn=A(U 1 ,U 2 ...U w ; V 2 ...V„); 



tjn+j = fn+j (Ui , U 2 ... U„ ; V: — t ; V 2 ... V n ) (j = 1 , 2 ... ») , 



ove le / sono funzioni arbitrarie dei rispettivi argomenti, soggette all' unica 

 limitazione di essere indipendenti rispetto a Ui ... TJ„ ; V 2 ... V„ . Ciò posto 

 la [I] diviene: 



n 



E d = y f n+ j . dfj — f n+ i . dt -f dd> , 

 ove per simmetria abbiam scritto fi invece di V! ; dunque la trasformazione : 



Pi* = Vi , Pi* = A , .» Pn* = fn ; 



Ql* — fn-i-t i q2* » ••• == f 2 n 5 



(!) Cfr. la mia Nota: 77 metodo di Pfaff per V integrazione delle equazioni a de- 

 rivate parziali del 1° ordine, inserita nei Rend. dell'Istituto lombardo, S. II, V, XVI, 

 fase. XIII (1883). 



( 2 ) Si tenga presente che un integrale è una soluzione dell'equazione a derivate 

 parziali : 



rf + > I — — — — r 2 - ) =rr + (L'i ,!■)= 0 , e che (U, , V,) = 1 . 



