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converte il sistema [II] in un altro sistema Hamiltoniano. Questa trasforma- 

 zione riuscirà indipendente da t se le f n+ j non contengono Y x — t . (Cfr. Lie, 

 Mem. cit., pag. 155, Theorem III). Come fu notato da Lie, una cosifatta 

 trasformazione non è in generale una trasformazione di contatto ridotta, cioè 

 sulle sole p e q, come sono quelle considerate al § 4 della mia precedente 

 Nota. 



8. Consideriamo il sistema: 



[III] èsci = Xi dz (* = 0,1,2...2«), 



ove le X sono funzioni delle sole x. 

 Posto come al § 6: 



P ' (*',*) = ^-^; (»,*-= 0 , 1 .... .2n) , : '>kt,kj 



per mezzo del sistema di equazioni 



(i , 0) X 0 + (i , 1) X, + ... + (i , 2n) X 2M = 0 

 si sieno determinate le Y in funzione delle x ; allora la forma differenziale : 



[IV] Y doc = Y 0 dx 0 -f- Y i dxi -{- ... + Y 2n dx 2n 



secondo la nomenclatura di Lie è, a meno del differenziale esatto d ^ X; Y; , 



i 



un'invariante per la trasformazione infinitesima definita dalle [III], ossia 

 per la trasformazione infinitesima: 



m u/=^x^. 



i = 0 Oi^i 



Si trova infatti (*): 



U Y dx = V £ (^) x, dxi + d J_ X- Yi = d £ Xi Yi . 



ih i i 



La funzione ^~ Xe Y,- è un invariante simultaneo della forma differen- 



i 



ziale [IV] e della trasformazione infinitesima [V] per qualsiasi cambiamento 

 di variabili. 



Secondo la terminologia usata dal Poincaré nell'opera: « Les mtéhodes 

 noiwelles de la mécanique celeste » (T. Ili, p. 9) l'integrale della [IV] 

 è un invariante integrale relativo alle linee chiuse, per conseguenza l' espres- 

 sione differenziale [IV] differisce per un differenziale esatto da un invariante 

 assoluto lineare (ibid. p. 14). Tale differenziale esatto, come si vede subito 



(') Cfr. Lie, Leipziger Berichte, 1896 — Einìge Bemerkungen iiler Pfaff'sche Aus- 

 drùcke und Qleichungen. 



