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una terna del tipo studiato ; ho ricavate di questa ed integrate le equazioni 

 differenziali. 



In una prossima Nota mostrerò una applicazione di questi risultamenti 

 alla soluzione di una classe di problemi dinamici ('). 

 1. Indichiamo con 



3 



(p — ■ ds ■- ^ y$ ctys dtX/y ÓjSC § 

 T 



il quadrato dell' elemento lineare dello spazio. Le equazioni differenziali cano- 

 niche di una terna di congruenze ortogonali [Aj] , [A 2 ] , [2 3 ] sono 



Mr'i: 3 ' cr) S r = 1 ' 2 ' 3 



Ds h h |A=1,2,3 



dove s h sono gli archi delle curve X h , e le X h (r) sodisfanno le relazioni 



1 per h = k 



*S 2 CD 2 (s) 



2rs /ft A/£ ^ — £m £hk - 1 0 per h 4= £ 



Designeremo inoltre con X h[r gli elementi 



Xh\r — -^s ^ft (S) i 



con 2 ft[rs le loro derivate, covarianti a <p , rispetto ad x s . 

 Gli invarianti della terna [A] sono dati dalle espressioni 



Yhu = — Ym = 2 rs X h[n X H ir) X^ . 



Da queste, derivando rispetto ad x t , ed eliminando le derivate seconde 

 delle X hlr , si ottengono (come è noto) nove equazioni di condizione per le y m . 

 Queste, nel nostro caso (y m = cost.), si possono scrivere 



Yhk^^i Yh+ ìh+2l(yill+ìJi+Z 7lTi+ 2 fi-i- 1 ) ~~ Yhh+ 1 ft-f- 1 ^M+2 fc+2 ~f~ Yhh+ 1 fc+ 2 //ift-t- 2ft+ 1 = 0 



2. Vediamo di dar loro una forma più adatta alle nostre ricerche, e più 

 agilmente adoperabile. 



Introduciamo a tale scopo le curvature medie (R h ) e totali (K h ) dei 

 complessi ( 2 ) ortogonali alle [_X h ~] , e le torsioni (T h ) delle [A ft ] . Avremo 



2 Ufi = Yhh+\h+\ -f- Yhh+2h-t-2 



Kfc = y ftft-H l ft-K l /Wi-i-'ft-i-S /«i-Hft-i-2 Yhh+lh+l 



T h = Yh+lh-i-ìh 



(') Il metodo adoperato in queste ricerche è quello del Calcolo Differenziale Assoluto. 

 Cfr. G. Eicci e T. Levi Civita, Mathematische Armale!), Bd. 54. 



( 2 ) Per la teoria del Complesso ortogonale ad una e delle sue curvature, con- 

 fronta la mia Memoria, Sulla teoria delle congruenze di curve ecc., Milano, Annali di 

 Matematica, tomo VI, S. Ili, pag. 1 e segg. 



