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 Se poniamo cos [Xhh = a hìi (= cosi), sarà 



e per gli invarianti della terna [jt] avremo le espressioni 



ffhkl == ^pqr &hp a kq a lr Ypqr • 



Ora io dico che si possono sempre assumere le a hh in modo che tutti 

 i g m si annullino all' infuori di uno con tutti gli indici distinti : ad esem- 

 pio g n3 : si abbia cioè gh+\h+u eguale a zero per h , l diversi da 3, eguale 

 ad una costante*/ per h—l=z : 3, o più sinteticamente gh+ih+u = ff Hh *sz» 

 da cui 



^pqr a h-hlp a h-t-2q a lr Ypqr = g £ 3h f 3l- 



Moltiplicando per a lH e sommando rispetto ad l 



^pq a h+\p a h+Zq Ypqli == g s Zh a Zk 



oppure (scambiando p con q e sommando) 



a hp Yp+\p+Vi = ff f 3ft a 3fe • 



Moltiplicando per a M e sommando rispetto ad h 



)W+2ft = ff <*Zl «3fc • 



Inoltre, facendo in questa l = k e sommando 



Yit+iii+ìii = -Sji T » = ff • 



Abbiamo così dimostrato: Che gli invarianti di una terna, e quindi la 

 terna stessa dipendono dal parametro g e dai due parametri che individuano 

 la direzione fx 3 (coseni direttori a 31 , a 32 , a 33 ). — Che tutte le terne che 

 hanno comune la somma delle torsioni formano tra loro angoli costanti. — 

 Che ogni terna forma angoli costanti con una terna che ha tutti gli inva- 

 rianti nulli eccetto una torsione (cosi). 



4. Questa terna rientra nel tipo studiato dal dott. Cattaneo (*) delle 

 « terne di congruenze rettilinee, costituite da sistemi piani cartesiani orto- 

 gonali situati sovra piani paralleli, e dalle normali a tali piani » . Nel caso 

 nostro aggiungeremo che esse si ottengono da un sistema cartesiano ortogo- 

 nale dello spazio, facendo ruotare i piani z = cost. intorno all' asse z , di un 

 angolo che varia linearmente con z. 



Indicando con y h[r i sistemi coordinati covarianti delle linee x ,y ,z , 



sarà 



Pijf = ì/i\r cos & -f- y 2[r sen & 

 (5) fi t[r = y%\ r cos — 2/i ]r seni9- 



[*3\r = y%\r 



(') P. Cattaneo, Sulle congruenze di linee in uno spazio piano a tre dimensioni. 

 Atti del E. Istituto Veneto, tomo LXI, parte II, pag. 42 e segg. 



