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Indicando le espressioni di F , X , fi dopo la sostituzione di — \z'\ a z' 

 con P' , X' , n' e ponendo 



(6) 



p = 



k_ 



dX x 



d\z\ 



dF, 

 dq 



~f* a 



dX x 

 do 



dq 



+ 



dX' 



a le~ 



Q = 



k 



2n 



d(i\ 



d\s'\ 



1 dF, 

 q dO 



-j- Ci 



dfii 



de 



1 dF' 

 q dO 



+ 



da' 



a ~de 



le funzioni P , Q hanno le seguenti caratteristiche : sono regolari in tutto il 

 semispazio S da una banda di un piano indefinito (la regione z' > 0) ; si 

 annullano sul piano z' — O; all'infinito si annullano, assieme alle loro deri- 

 vate prime, come —-7 — jz almeno; soddisfanno al sistema di equazioni 



q i -\-Z 





P 



2 rfQ 



de* 





q 2 dO ' 





Q 



2 dF 



do 2 



Q* 



q 2 de- 



(7) 



J ^~ aì Jet~f 2= =~t 2 Te- 

 si può dimostrare che queste funzioni P , Q sono identicamente nulle, 

 e quindi concludere che le relazioni P = 0 , Q = 0 sono valevoli in tutto 

 lo spazio S e non solo sul piano z' = 0. 

 2. Si consideri in generale 1' equazione 



(8) J 2 f+c 2 f=0, 



d 2 d 2 d? 



essendo A% — -f- -J- e c costante reale; per essa sussiste la 



seguente proprietà: 



« Ogni integrale dell'equazione (8) regolare nel semispazio S, nullo 

 sul piano z = 0, e nullo all' infinito, insieme alle sue derivate prime, come 



almeno (r 2 — x 2 -f- tj 2 -\- z 2 ) è identicamente nullo per qualsiasi valore 



della costante c ». 



Si dimostra questo nel seguente modo. Siano u e v due integrali della (8) 

 regolari in un generico campo È: dalle equazioni 



J 2 u -f- c 2 u = 0 , 

 J-lV -\- c 2 o = 0 , 



moltiplicando rispettivamente per v ed m, sottraendo ed integrando si ha 



{v4%u — uJ 2 v) d2 = 0 . 



