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Indicando con a il contorno di 2 e con n la normale a a diretta verso 2 

 si ha per il teorema di Green 



f / dv du\ . . 

 \u — — y — I tìc = 0 . 



^Ricordando che l'espressione del J z in coordinate polari Q,<p,6 è 



Jì ~ r-\ ir ( r $r) sen cp 7)9 ( Sen ^ }g>) sen 2 cp ufi* 1 



e che quindi per una funzione della sola r si riduce ad \~ (r 2 — ), è 



r r 2 \ 7>r / 



noto che un particolare integrale della (8) è dato da £2L£I , essendo r la 



distanza del punto variabile dall' origine. Esso è regolare in tutto lo spazio, 

 eccettuato solo l' origine ; e si annulla all' infinito assieme alle sue derivate. 



Indichiamo con p il piano z = 0 , essendo S il semispazio z ^> 0 ; con M 

 un generico (variabile) punto di S e con M' un punto pure generico di S, 

 ma fisso ; con M\ il suo simmetrico rispetto al piano p , con r ,r le distanze 



cos cr r 



MM', MM', . La funzione — — — è un integrale della (8) regolare in tutto S ; 



COS CT 



anche la funzione — - — è un integrale della (8), ma ha entro S una sin- 

 golarità nel punto M'. Poniamo 



_cos£r cos cr' 



r r' 



ed indichiamo con u un integrale della (8) regolare in tutto S e nullo al- 

 l' infinito, assieme alle sue derivate prime, come — almeno. Sia T una su- 

 perficie qualunque esterna ad una semisfera di raggio grandissimo, r una 

 sferetta di centro in M'; per quanto grande si scelga T e piccola t nello 

 spazio compreso fra p , T , % le u , v sono regolari ; quindi indicando con p' 

 la porzione di p intercetta da T si ha 



(9) f (u^-v^)da = 0. 



Jp'+t+tV dn dn] 



Prendiamo per es. per T una sfera di centro M' e di raggio — e per x 



una sfera con lo stesso centro e raggio s. Avremo nei punti di T, per es- 

 sere dn = — dr , 



/ dv du\ , / du dv\ . ' ln 

 \u-r — v — \ da =\v — — u -r I f sen <P dw dd = 

 \ dn dn) \ dr dr] 



I 1 du u dv\ , 



= { V 7>dr-7>d-r) Sen<pd<pdd - 



