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te \ cLzt 



Per ipotesi al decrescere indefinito di s le quantità — si man- 



S S CLT 



dv 



tengono sempre finite, v e — hanno per limite lo zero, e quindi l' integrale 



esteso a T tende a zero con s. Sopra z , tenendo presente l' espressione di y, 

 si ha, essendo dn = dr, 



dv , 

 — da 

 dn 



(COS 0 T \ 

 ~ì — ~\ \ r* $&n <p dy> dd = ( — cos cs -j- y) sen g> dg> dO 



indicando y termini che vanno a zero con s ; inoltre vda tende a zero con s. 

 Si ha quindi: 



lim Ciu^r — v da = lim f u( — cos cs) sen cp dm do 



E =oJ T \ dn dn) £ = 0 A 



= lim I ( — u' -\- u' — u) cos cs sen ce d<p dQ 



= — 47T^'-{-lim I (u' — u) cos cs sen cp dtp dB = — 4ttu', 



E=0 J t 



indicando u' il valore di u in M\ 

 Al limite dunque la (9) ci dà 



C / dv du\ , m 

 J p \ dn dn ) ' 



4c7lU = 



ma siccome la v è nulla sopra p resterà 



dn 



(10) 4Ttu'= f u~dts. 



"9 



Con che ogni integrale u della (8) regolare in S e nullo all' infinito nel 

 modo detto rimane espresso mediante i valori che esso prende sul piano p. 

 Essendo nel caso nostro la u nulla sopra p si ha u = 0 in tutto lo spazio. 



Dalla proprietà dimostrata si deduce subito quest' altra. 



Si indichi con u un integrale della (8) regolare nel semispazio S; ri- 

 ferendoci a coordinate cilindriche g , 6 , s sarà u , per la sua regolarità, fun- 

 zione periodica di 6; quindi potremo porre 



= w 0 -4- X (a n cos nd -f- b n sen nd) 



con u 0 , a» , b n funzioni solo di £ e z. 

 Avendosi in coordinate cilindriche 



i jj 2\ i 1 i il 



