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Matematica. — Sul problema di Dirichlet nello spano iper- 

 bolico indefinito. Nota di Guido Fubini, presentata dal Socio 

 Y. Volterra. 



In una Nota, dello stesso titolo di questa (Rendiconti Lincei, 1900) il 

 prof. Bianchi costruisce una funzione armonica in tutto lo spazio iperbolico, 

 quando ne siano prefissi i valori all' infinito. Egli usa a tal uopo di rappre- 

 sentazioni conformi di spazi non euclidei. Non sarà forse privo d' interesse 

 il vedere che lo stesso problema si può risolvere con mezzi assai più ele- 

 mentari: tanto più che così si vedrà meglio perchè il singolare metodo del 

 prof. Bianchi conduca effettivamente alla risoluzione del problema. Indichiamo 

 con x ' , y ' , 2 coordinate cartesiane ortogonali; e siano R , a due costanti; 

 poniamo l'elemento lineare uguale a 



m j-t dx 2 + df + dz 2 



w \W — l(x — af + f + z 2 J 2 



Esso è 1' elemento lineare della metrica iperbolica, di cui la sfera S di centro 

 (a , 0 , 0) e di raggio R rappresenta l' assoluto. Facciamo ora l' inversione 

 per raggi vettori reciproci 



^ = fi ^ = 5i s = é~2 dove Q 2 = x ' 2 + y' 2 + s ' 2 



Avremo, (sostituendo in (1)) 



. 2== dx' 2 + dtp ± 



[(R 2 — a 2 ) {x' 2 + y' 2 + z' 2 ) + 2ax' — 1J 



dove, come facilmente si verifica, il denominatore rappresenta appunto il 

 quadrato dell'equazione della sfera trasformata di S. Da ciò si deduce in 

 particolare : 



Una inversione per raggi vettori reciproci trasforma le funzioni 

 armoniche della metrica definita considerando una sfera S come assoluto 

 nelle funzioni armoniche della metrica definita considerando come asso- 

 luto la trasformata di S. 



E allora un metodo ben noto permette di risolvere subito il nostro pro- 

 blema. Sia data su S una catena di valori U e sia P un punto interno alla 



