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sfera in cui si voglia calcolare il valore di una funzione armonica entro S 

 (nella metrica definita da S) e che al contorno di S prenda i valori U. Presa 

 come origine degli assi il centro 0 di S sia q il raggio vettore OP e sia y 

 V angolo che un raggio OA forma con OP. Se noi facciamo un' inversione per 

 raggi vettori reciproci col polo nel punto Q immagine di P, il trasformato 

 P r di P sarà il centro della sfera S' trasformata di S. Siano A , A' due punti 

 corrispondenti generici di S , S' ; da , da' gli elementi di area (euclidea) di 

 due elementi corrispondenti di S , S' ; sia / l' angolo che P' A' forma con 

 P' P scelto in modo di essere crescente con y ; sia R' il raggio di S\ Im- 

 maginiamo una catena di valori U' su S' definita dalla U'(A') = U(A). Per 

 il teorema precedente il valore della funzione incognita in P è uguale al 

 valore in P' di una funzione armonica in S' nella metrica definita da S' 

 come assoluto e che al contorno di S' prende i valori U\ Essa per teoremi 

 noti sarà la media (euclidea) dei valori U' ; il valore cercato è perciò : 



Ora evidentemente: 



Perciò (a) diventa: 



m 



Nel triangolo APQ è: 

 donde : 



(y) PQ 2 



AP o 



Poiché ~ = ^-;Vq==Oq — OP; AP 2 = R 2 + ? 2 — 2Rq cos y ; OP = q. 



OP.OQ = R 2 la (y) diventa: 



(R 2 — e 2 ) 2 

 donde : 



da' d (cos y) 

 R' 2 da~ d (cos y) 



d (cos /) 



d (cos y) 



A (P) Q = tv — / 



= AP 2 + AQ 2 + 2AP . AQ cos / 



= [l + 2^os/ + |][E.+f- 2 foo 3y ] 



d (cos /) (R 2 — g 2 ) 2 



d (cos y) ~ [R 2 -j-Q 2 — 2Rg cos yj 



