— 217 — 



che le linee inviluppate sopra Q (o sopra Q') da quelle tangenti sono geo- 

 detiche; e se, tenendo fissa Q, si fa variare Q', nel sistema confocale, si 

 hanno così tutte le geodetiche di . Q. 



Ora se eseguiamo una trasformazione projettiva che cangi il sistema di 

 quadriche confocali (Q) in un altro sistema confocale (QO, su due quadriche 

 corrispondenti Q , Qj si corrisponderanno ad un tempo i sistemi coniugati 

 e le linee geodetiche (pel teorema di Chasles); le due quadriche saranno 

 quindi coniugate in deformazione. Per ottenere una delle volute projettività 

 basta ricordare che un sistema confocale (Q) di quadriche non è altro che 

 una schiera inscritta in una sviluppabile del 4° ordine isotropa (circoscritta 

 cioè al circolo immaginario all'infinito); la projettività deve dunque trasfor- 

 mare quella sviluppabile isotropa in un' altra isotropa, per la qual cosa 

 basta che cangi una delle tre coniche focali nel circolo all' infinito ('). 



Inversamente è noto che in qualunque generale projettività T vi è uno, 

 ed in generale un solo sistema confocale di quadriche, che si muta in un 

 altro tale sistema. Invero se per la trasformazione inversa T _1 il circolo 

 all'infinito C si cangia nella conica r, la sviluppabile 2 del 4° ordine cir- 

 coscritta a C e a r si cangia per la T in un' altra sviluppabile isotropa 2\ , 

 e quindi il sistema confocale inscritto in 2 nell' altro inscritto in 2i . 



Così adunque: In qualunque projettività dello spazio si ha un sistema 

 di superficie (quadriche confocali) per ciascuna delle quali le geodetiche 

 si cangiano in geodetiche sulla superficie trasformata. 



È naturale ora di domandare se possono esistere altre coppie di super- 

 ficie S , S' projettive, sulle quali si corrispondano le geodetiche. La risposta 

 negativa si desume subito dalle considerazioni seguenti. Ogni geodetica g di 

 S dovendo cangiarsi in una geodetica g' di S', il piano osculatore di g si 

 muterà in quello di g' (nel punto corrispondente). Dunque se P, P' sono due 

 punti corrispondenti di S , S', e n , ri i rispettivi piani tangenti, ad ogni 

 piano normale in P a n dovrà corrispondere un piano normale in P' a ri, 

 indi alla normale S in P la normale alla S' in P'. Queste due normali sono 

 dunque direzioni principali in P, P' della corrispondenza, cioè tali che ad 

 ogni direzione normale all' una in P corrisponde una direzione normale al- 

 l' altra in P'. Nel caso attuale di una projettività la terna (ortogonale) delle 

 direzioni principali in ogni punto è quella delle normali alle tre quadriche 

 del sistema confocale che vi passano ; e per ciò S , S' coincidono necessaria- 

 mente con due quadriche corrispondenti. Queste ultime considerazioni dimo- 

 strano del resto direttamente (senza far uso della proposizione di Chasles) 

 la proprietà della conservazione delle geodetiche. 



( l ) Escludiamo quelle che lasciano fisso il circolo all'infinito, perchè non sono altro 

 che movimenti ed omotetie. 



