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3. Passiamo ora a dare una conferma analitica ai risultati precedenti, 

 ciò che servirà anche a determinare di ogni quadrica a centro la coniugata 

 in deformazione. 



Prendiamo l' equazione di un sistema confocale di quadriche a centro 

 sotto la solita forma 



(l) — ^- 4- y2 4- **' = 1 



indicando q il parametro variabile da quadrica a quadrica, e supposto, come 

 di consueto 



a 2 j>. b 2 ^> c 2 . 



Le quattro quadriche singolari nella schiera (come inviluppi di 2 a classe) 

 sono il circolo immaginario all'infinito, o le tre coniche focali 



tic 2 y 2 



~~i 9 + 77^ — ; == 1 > ellisse reale nel piano s — 0 



a 2 — c 2 b 2 — c 2 



a 2 —b 2 b 2 — c 2 



,2 ,2 



1 , iperbola nel piano y = 0 



-\ — 'r 1 — : -[-1=0, ellisse immaginaria nel piano x = 0 



a 2 — b 2 a 3 — c 2 



Vogliamo ora eseguire una tale trasformazione projettiv-a T , che non 

 sia nè un movimento nè un' omotetia, e cangi il sistema confocale in un 

 altro confocale, onde la T dovrà cangiare una delle coniche focali nel circolo 

 all'infinito. Noi vogliamo una projettività T reale, e perciò la terza conica 

 focale immaginaria dovrà cangiarsi in questo circolo ; quindi il piano x = 0 

 nel piano all' infinito. Dopo ciò, se indichiamo Xi , y x , z x le coordinate del 

 punto in cui la T trasporta il punto (x , y , 2), le formolo cercate avranno 

 la forma 



_ u _v _w 



X\ — , \]\ — , £1 — , 



OC vu se 



dove inoltre U , V , W dovranno essere tali polinomii lineari in x , y , s 

 che 1' equazione 



del circolo all' infinito equivalga a quella 



(a 2 — c 2 ) y 2 -f- (a 2 — b 2 ) s 2 + {a 2 — b 2 ) {a 2 — c 2 ) = 0 



della terza conica focale. Trascurando un fattore costante d' omotetia, dovremo 

 dunque avere 



IP 4- V 2 -f W 2 = {a 2 — c 2 ) y 2 + {a 2 — b 2 ) s 2 -f {a 2 — b 2 )(a 2 — c 2 ) = 0 h 



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