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Ne segue che U , V , W non contengono x ed applicando ad U , V , W 

 ima sostituzione ortogonale, si potrà assumere senz' altro, a meno di un mo- 

 vimento : 



U = ]/(a 2 — **) («* — c *) , v = Va 2 — b 2 . z , W = ]/a 2 — c 2 . y . 

 Dunque abbiamo: 



Le trasformazioni projéttive reali che cangiano il sistema di qua- 

 driche confocali (1) in un secondo sistema di quadriche confocali sono 

 date, a meno di un movimento e di uri omotetia, dalle formole: 



(2) Xx= V(a 2 -b 2 )(a 2 -c 2 ) ^ yl = Y^^-, ^~fa^±?A. 



Queste rappresentano un' omografia biassiale armonica avente per assi 

 le due rette 



x 



= =t Y(« 2 — b 2 ) (a 2 — c 2 ), y y a 2 —c 2 ~z z ^'a 2 — b 2 = 0 . 



L'omografia biassiale (2) cangia effettivamente il sistema confocale (1) 

 nell' altro 



/vi 2 -ji 2 r- 2 



(Q\ ±1 _|_ il L -ìl — 1 



1 ' (a 2 —b 2 )(a 2 — c 2 ) \ _ (a 2 — b 2 ) (e 2 + g) ^ _ (a 2 — c 2 ) (b 2 -{- q ) 

 a 2 -{- Q ci' 2 + Q a 2 -f- Q 



che è pure un sistema confocale, anzi coincide col sistema stesso, come si 

 vede osservando che, posto 



a 2 -f- q 



la (3) si scrive 



( 3 *) ix--h^r + -^-r = i . 



Ai valori singolari di q: 



q — — a 2 , — b 2 , — c 2 , oo 



corrispondono ordinatamente i valori 



Ci = oo , — c 2 , — è 2 , — a 2 ;. 



l' omografia (2) scambia quindi fra loro le due coniche focali reali e Y im- 

 maginaria col circolo all' infinito ('). 



0) Un sistema confocale di quadriche ammette del resto (come un fascio) un gruppo 

 di 32 collineazioni in sè; ma quelle reali, utili al nostro scopo, si riducono essenzialmente 



alla (2). 



