— 221 — 



trasforma l' iperboloide in sè, conservandone le linee geodetiche. Ne segue : 

 Ogni deformazione dell'iperboloide ortogonale ad una falda ne individua 

 una seconda, sicché le superficie applicabili su questa quadrica si presen- 

 tano a coppie di superficie coniugate (distinte di forma). 



4. I teoremi enunciati al n. 1 sono così dimostrati appoggiandosi, per 

 quanto riguarda la conservazione delle linee geodetiche, alle osservazioni 

 geometriche del n. 2. Vediamo ora come anche questa proposizione possa 

 facilmente confermarsi per via analitica, ricorrendo alle condizioni caratte- 

 ristiche trovate dal Dini per la rappresentazione geodetica di una superficie 

 sopra un' altra ('). 



Basta per questo scrivere l'elemento lineare dello spazio in coordinate 

 ellittiche gì , (> 2 , q 3 , riferite al sistema confocale (1), designando g, , q 2 , g 3 

 rispettivamente i valori del parametro q per 1' ellissoide, iperboloide ad una o 

 a due falde del sistema (1) che passano pel punto (x , y, s). 



Si ha allora: 



(fl 2 + g.)(a 2 + g2) (a 2 -\-9s) ' . _ (& 5 + g.) (*' + <?») (b 2 -f q,) 



X (a 2 — b 2 ) {a 2 — c 2 ) ' ' V (b 2 — c 2 ) {b 2 — a 2 ) 



s 2 = 



(c 2 —a 2 ){c 2 —b 2 ) 

 e corrispondentemente pel 



ds 2 — dx 2 -f- dy 2 -f- dz 2 , 

 (K\ H (g- — (g' — gs) , , ■ (g2 — g 3 ) (Qt — gì ) . 2 , 



(5) ds - 4 ^+ ()1 )(* 2 +g 1 )^H-g 1 ) Qi + (« 2 +g 2 )(^+g 2 )«+g 2 r 2 + 



I (g3— g )(g3— gg) , , ) 



(« 2 + gs) (** + g 3 ) + gs) ?3 j ' 



che scriviamo anche 



(5*) ds 2 = H, 2 doì 2 + H 2 2 dgx -f H 3 2 tfg 3 2 • 



L'omologia biassiale (2) applicata al sistema confocale (1) dà 



9 ^ ( a «_6»)»( ffl »_ g »)« (a« _ (g2 + gi) ( gS + gg ) g3) 



^ (« 2 + gi(a 2 + g 2 )(« 2 -f ga)'^ 1 6 2 -c 2 (fl 8 +gi)(a 8 + g 8 )(a 8 H-g 8 )' 



(g« — c 2 ) 2 (b 2 + gl ) (b 2 + g,) (é 2 + g 3 ) 

 j«_ c * (« 2 +g 1 )(« 2 H-g2)(« 2 + g 3 )' 



Calcolando di qui il àf = foi 2 -f ^i 2 -f-^i 2 ! si trova 



(a) i » _ - (^ 2 — ^ 2 ) 2 (a 2 — e 2 ) 2 ( H.^ gi 8 H 2 2 ^ 2 2 H 3 2 ^ g 3 2 ) 

 { ' 1 (« 2 + g.)(« 2 +g 2 )(« 2 + g3)U 2 + gi tf 2 + g2 i_ tf 2 + g 3 r 



(') Sopra un. problema della teoria generale delle rappresentazioni geografiche 

 (Annali di Matematica, tomo III, 1869). Cf. anche Darboux, Legons etc. tomo III, pag. 47. 



