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Confrontando gli elementi lineari (5), (6) per due quadriche corrispon- 

 denti, si vede subito che essi stanno fra loro nella relazione caratteristica 

 che assicurano, secondo il Dini (1. e), la corrispondenza delle linee geo- 

 detiche. 



5. Dimostriamo ora che i risultati precedenti si estendono subito allo 

 spazio ad n dimensioni S n (euclideo) ('), fornendo così un semplice esempio 

 di spazi ad n — 1 dimensioni (quadriche), immersi nell' S„ , che vengono a 

 rappresentarsi geodeticamente (e projettivamente) gli uni sugli altri. 



Consideriamo nello spazio 8 n il sistema di quadriche confocali 



(7) — 4. 2 -f. ■ • a- n = i 



e diciamo Qi , q 2 , • . Q n le corrispondenti coordinate ellittiche; abbiamo le 

 formolo 



1 {ai — q\){ai — « 2 )..(«i — — a t± i)..(a i — a n ) 



e quindi pel ds 2 = tù^ 2 -f- °^2 2 + " " + tów 2 la forma ortogonale 



2 



(9) ds 2 = H, 2 d Ql 2 4 H 2 2 dg 2 2 4 ■ • H M 2 dq 

 con 



/ 9 *\ n 9 ■ — 1 ^' ~ ( Qi ~ ( Qi ~ • • ( Qi ~ ^ 

 4 («i + ?•) («« + e») + 



Eseguiamo ora la trasformazione proiettiva data dalle forinole 



; _; 1 ì igù -» Kb 1 r- 



(10) g, = — , = (* = 2,3..w) 



dove le S sono le coordinate del punto trasformato. 



Questa cangia il sistema di quadriche confocali (7) nell'altro pure con- 

 focale : 



— 2 9 u — 2 . 



(10*) j t "-r- gj+g ~ ' 



«ì+e -(«1— Oi)(ai+9) 



Ora sussiste nell' S n la proposizione generalizzata di Chasles : Le tan- 

 genti comuni ad n — 1 quadriche del sistema confocale formano le normali 

 di un' ipersuperfìcie, e quindi inviluppano su ciascuna quadrica un sistema di 



( l ) I medesimi teoremi valgano del resto, più in generale, per gli spazi di curvatura 

 costante. 



