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linee geodetiche. Tenendo fìssa una Q delle n — 1 quadriche e facendo va- 

 riare le altre n — 2 si ottengono così tutte le geodetiche di Q . Di qui de- 

 duciamo : Sopra due quadriche corrispondenti dei sistemi confocali pro- 

 gettivi (7), (10*) si corrispondono le linee geodetiche. La medesima cosa 

 segue anche da considerazioni geometriche analoghe a quelle svolte alla fine 

 del n. 2. La conferma analitica risulta nuovamente dal calcolo dell' elemento 

 lineare 



. 1...B 



ds 2 =y_dlòi % = Y_ au dq u dg* 



i i 



dello spazio trasformato. 

 Dallo (10) abbiamo 



~ÒXi _ 1 liXx ~ÒXj 1 ( ~òXj Xj 



~òQu ~~ [sex* }p ' Xi^ai — affatto #i MnV 



e quindi, avendo riguardo alle (8*) : 



_y^i^ 1 | 1 , y (ai — a>)xi* ) 



Naturalmente quando k =f= l deve risultare ara = 0 , perchè il sistema 

 confocale (10*) è un sistema n vl ° ortogonale, la qual cosa del resto è facile 

 verificare, sussistendo l' identità. 



: — : r = 1 , per #=4= l . 



i («i + ?*) («« + ?*) 



Per l = k abbiamo poi 



tt 2 \ j i i v ( ffl i a ì) x ? \ 



ossia per la (8) 



(11)H; 



i L 2 y" (fli+ gl )(a t + g,)..(fli + gw ) 1_ 



Ora la quantità fra parentesi ) \ nel secondo membro eguaglia la frazione 

 (gj — gì) (gft — Qì) • • (gft — gft-i) (gft — gft-t-i) ■ - (gft — gw) 



(«2 + e») («3 + gfc) • • • («n + <?ft) 



come si vede decomponendo quest' ultima in frazioni semplici rispetto a g ft . 

 Sostituendo poi nella (11) per x 2 il suo valore dato dalla (8) per 2 = 1, 

 ne viene 



g 2 _ (a t — g g ) (a x — a 3 ) . . (q t — a») H A 2 



(«i + gO («i + ?«)•• («i + e») ' «1+?»' 

 Eendiconti. 1903, Voi. XII, 1° Sem. 30 



