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si abbia 



x r — x r (t) (r = 1 , 2 , 3) 



e poniamo 



(1) d Ìf'=*'r^%nK%- 



Le p h costituiscono, secondo il Volterra ('), delle caratteristiche di un 

 moto libero. 



L' equazione dei lavori virtuali, che in coordinate cartesiane ortogonali 

 si scrive 



3_ 



(X r — mx" ) Sx r = 0 



1 



(Xj , X 2 , X 3 componenti della forza, m massa del punto), in coordinate ge- 

 nerali si scriverà 



Xrs [X (rt — mix'; + y pq \P ? x' p x'g)] a rs óx s ^0. 

 i { r ) 



Sostituendo in questa a x' r i valori dati dalla (1) e ad x' r ' quelli che 

 se ne ricavano per derivazione rispetto a t, avremo l'equazione dei lavori 

 virtuali sotto la forma 



(2) 2 h [P h — m(p' h — 2 kl YhmPh Pi)~] ó«>h = 0 

 dove 



e 



ó(x)h = 2 r òx r &hlr 



rappresentano rispettivamente le componenti della forza e degli spostamenti 

 virtuali, secondo le tangenti in ogni punto alle linee delle congruenze QAjJ. 



Le equazioni di un moto libero sono allora le (1) e quelle che si ri- 

 cavano dalla (2) suppostevi le àw h completamente arbitrarie. 



Esse saranno adunque ( 2 ) 



(I) x' r = 2 h h ln Ph 



(II ) Pft = m( p\ — 2 M /Mi Ph Pi) • 



2. Nel nostro caso le equazioni differenziali si devono dividere in due 

 gruppi integrabili successivamente, e precisamente le equazioni (II) si de- 



(') V. Volterra, Sopra una classe di equazioni dinamiche. Atti della R. Accademia 

 delle Scienze, Torino, toI. 33, 1898. 

 ( 2 ) Cfr. Volterra, Memoria citata. 



