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vono integrare indipendentemente dalle (I): esse non devono quindi conte- 

 nere le % r . 



Perciò è necessario e sufficiente che le p h , le V h e i coefficienti delle 

 pxPi (cioè YhHi-\-Yhih) siano indipendenti dalle x r . Questi ultimi poi, quando 

 immaginiamo (come facciamo in realtà) le [A] indipendenti dal tempo, risul- 

 teranno costanti. 



Il problema adunque dei moti di un punto libero a caratteristiche in- 

 dipendenti, ci conduce alla ricerca delle congruenze i cui invarianti sodisfanno 

 alle condizioni 



(3) ym + Yhik = cost . 



Si trae intanto da queste che i y con due indici, uguali sono tutti co- 

 stanti. Inoltre fra i y passano, come è noto, le relazioni 



Yhh - TT r~ — Yh+ih+2l\YlH+ik+2 Y'k+2k+l ) — 



<)Sfc-t-2 vSk+i 



— Yhh+lk+i Yhh+ik+2 -{- Yhh+1 H+ì Yhh+21(->-i = 0 . 



Tenendo conto delle (3) le Yhh = 0 mostrano che tutti i y m sono costanti ('). 

 Dunque le [A] costituiscono una terna a invarianti costanti. 

 3. Se poniamo 



fthlr — a hk Aft/r 



(«fc* = COS fX h X h = cost.) e 



q h = 2 H a m p 1i 

 Qh = 2 h cc hH P H 



potremo sostituire alle (I) (II) le 



(li) x' r = 2 h fx h (r) q h 



(Hi) Qh = m(q\ — 2 hl g m q h q t ) 



dove vale ancora una relazione del tipo 



(4) q h = 2 r X^^ h , r . 



(*) Cfr. la mia Nota citata : Sulle terne ortogonali ecc. Con le notazioni ivi usate, 

 le (3) si scrivono 



Hfc=COSt. , Vfc = COst. , Th — T)t = COst. 



Le yhh = 0 , annullandosi in esse la parte differenziale, equivalgono allora alle (2) della 

 Nota stessa, e danno 



Tfc +2 = cost. (fc = 1 , 2 , 3) 



da cui 



*a(t A+ , — Th+s) = cost. 



ossia anche 



T h = cost. c. d. d. 



