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Infatti basterebbe derivarle due volte rispetto a t , per ridurle alla nota 



forma 



L X = mx" 



(8) ] Y = my" 



f Z == m' ! 



e dedurne l'integrabilità per quadrature. 



Mostriamo però come anche si possano ricavare direttamente i primi 

 membri di tali equazioni. 



Tenendo conto della 3 e equazioni dei due gruppi (l x ) (II,), si ha il 

 valore di s , da cui si ricava quello di gz -f- c. Indicandolo brevemente con 

 0, le (4) danno, in coordinate cartesiane ortogonali 



X = X! = Q! cos 8 — Q 2 sen 8 

 Y = X 2 = Q 2 cos 8 -f- Q, sen 8 

 Z = X 3 = Q 3 



Essendo X , Y , Z funzioni soltanto di t, nelle (8) restano separate le variabili, 

 e l'integrazione si fa senz'altro per quadrature. 



5. Restano ora da determinare le linee di forza. 



Dalle (4) abbiamo 



= 2 h Q ft [Iftir 



e indicando con [y~\ la congruenza delle linee di forza, ne ricaviamo 



X?- 2 h Q ft fi h f r 



ossia, posto 



q h = cos a h \/2 n q\ 

 dove le an risultano costanti, 



v r = 2 h cos a h fi hlr 



cioè la [r] forma angoli costanti (rispetto alle coordinate) con le [^i]: essa 

 appartiene dunque ad una terna ortogonale a invarianti costanti. 



Per ciò che ho dimostrato nella mia Nota più volte citata, le linee di 

 forza sono allora eliche circolari congruenti, con gli assi paralleli all'asse z, 

 e le cui normali principali nei punti di un medesimo piano s = cost. sono 

 tutte parallele: il che equivale perfettamente a ciò che con linguaggio cine- 

 matico abbiamo detto nell' Introduzione. 



E importante infine notare che il nostro caso in cui l' integrazione delle 

 equazioni del moto si ottiene con quadrature, non si può in alcun modo ri- 

 condurre a quello in cui la forza che sollecita il punto appartenga a com- 

 plessi lineari (nel qual caso le equazioni del moto {ammettono, come ben 

 si sa, integrali primi). 



