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potremo distribuire le trasformazioni di G in classi rispetto a r, attribuendo 

 ad una medesima classe tutte e sole quelle che sono equivalenti ad una 

 medesima, e quindi fra loro. Le classi in G formeranno una serie co , ' _m ed 

 ogni g si potrà decomporre (almeno in un conveniente intorno dell'identità) 

 secondo la forinola 



(1) # = yT; 



percorrendo y le cc m trasformazioni di r e la moltiplicatrice T una serie 

 oo r - m di trasformazioni di G, ciascuna delle quali rappresenta per sè una 

 classe. 



Nel modo più chiaro si riconosce la detta decomponibilità, ricorrendo 

 alla nota decomposizione di ogni trasformazione di G nel prodotto di r 

 trasformazioni, prese ciascuna da uno degli r gruppi ad un parametro, che 

 vengono generati da r trasformazioni infinitesime indipendenti di G r , siano 



Xi/" , X 2 / , ••• Xj./. 



Se Gi (i) indica il gruppo ad un parametro U generato da X*/ ed una 

 sua trasformazione generica, si ha (') 



g = S fi S f2 ... St r 

 Ora, supposto p. e. che siano 



Xi/ 7 , X 2 / , ... X^/ 

 le trasformazioni infinitesime di r m , basterà porre 



/ = S,, S h ... S (ni , T = S Wl ... S (r 

 per ottenere la decomposizione (1), e saranno allora 



gli r — fu parametri contenuti nella moltiplicatrice T, ossia i parametri 

 delle classi. Ciò posto, si moltiplichino tutte le trasformazioni g di G a destra 

 per una medesima fìssa g in G : le si permuteranno fra loro secondo quella 

 trasformazione del primo gruppo parametrico H r che corrisponde a g. Ma, 

 poiché da g' = g segue g'g = gg, ed inversamente dalla seconda equiva- 

 lenza la prima, vediamo che tutte le trasformazioni appartenenti ad una me- 

 desima classe vengono trasportate ad un tempo in tutte quelle di un'altra 

 classe, cioè: Il gruppo parametrico H r agisce in modo imprimitivo sulle 

 oo r_m classi scambiandole fra loro. 



Facendo ora variare g entro G r , ne verrà indotto un gruppo H di tras- 

 formazioni sulle classi ; questo diciamo il gruppo complementare (a destra) 



(!) Cfr. Lie-Engel, III, pag. 802 (Nota) e Scheffers-Lie, pag. 192. 



