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di G rispetto a T e scriviamo, col simbolo di quoziente 



Nelle notazioni superiori, esso sarà un gruppo di trasformazioni sulle 

 r — m variabili t m+ì ... l r . 



G 



2. Osserviamo ora alcune proprietà del gruppo complementare H = — , 



che discendono facilmente dal modo stesso di sua generazione. 



1°. // gruppo complementare H è transitivo sulle cc r - m classi, cioè 

 sui parametri che le individuano. 



Infatti la classe costituita dal sottogruppo r (rappresentata dall' iden- 

 tità) si muta in qualunque altra classe, prendendo convenientemente la mol- 

 tiplicatrice g. 



Il gruppo H è chiaramente in relazione d' isomorfismo con G. Ma, per 

 riconoscere se questo isomorfismo è oloedrico o meriedrico, convien vedere se 

 ali* identità in H corrisponde in G la sola identità, ovvero un sottogruppo 2, 

 che sarà invariante in G. Se cr è una qualunque trasformazione di 2, do- 

 vremo avere per una g arbitraria 



ga = g , g<t = yg, 



ossia 



tf = 9~ l n > 



e per ciò <J dovrà trovarsi ad un tempo in tutti i sottogruppi trasformati 

 di T per mezzo delle g; viceversa se ciò accade, avremo per qualunque g 



9<r = 9, 



cioè la e lascierà fisse tutte le classi e corrisponderà all' identità in H. Se 

 supponiamo che il sottogruppo 2 abbia k parametri, sarà k il grado di me- 

 riedria nell' isomorfismo di H con G, ed H avrà r — k parametri. Dunque : 



ikt' i"i *1 «ì f tra? ' ìi i f ' \X<r f l'Hit \ n t f\tttt 



2°. Il gruppo complementare H = — ha precisamente r — k pa- 



* m 



rametri, se il massimo sottogruppo 2 di r invariante in G ha k parametri. 

 In particolare abbiamo : 



G 



3°. // gruppo complementare H = — ha r parametri, ed è oloedri- 



camente isomorfo con G, quando il sottogruppo r non è invariante in G 

 nè contiene {l'identità esclusa) alcun sottogruppo invariante in G. 



Osserviamo ora che alle trasformazioni di r corrispondono in H tutte 

 e sole quelle trasformazioni che lasciano invariata la prima classe (la classe 1). 

 Nello spazio S r _,„ ad r — m dimensioni, generato dai parametri delle classi, 



