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al sottogruppo r corrisponde in H il sottogruppo di stabilità relativo al 

 punto rappresentativo della prima classe, cioè l' insieme di tutte e sole le 

 trasformazioni di H che lasciano fisso questo punto. Similmente ai sottogruppi 

 di G affini a r (trasformati di r per mezzo delle g) corrispondono in H i 

 sottogruppi di stabilità relativi ai punti di S r -m- 



Dopo ciò, possiamo anche riconoscere facilmente se il gruppo H è sista- 

 tico, ovvero asistatico. Il primo caso si presenterà quando esista in S r _ m una 

 varietà continua di punti aventi a comune il sottogruppo di stabilità, cioè 

 una serie continua di trasformazioni moltiplicatrici di g, non equivalenti, 

 che trasformino r in sè stesso. Quelle trasformazioni di G che trasformano F 

 in sè stesso formano in G un sottogruppo, contenente r come sottogruppo 

 invariante. Abbiamo quindi: 



G 



4°. 77 sottogruppo complementare H = — è sistatico ovvero asista- 

 tico, secondo che il massimo sottogruppo di G, contenente r come sotto- 

 gruppo invariante, è più ampio di r, ovvero coincide con r. 



3. Consideriamo ora particolarmente il caso che il sottogruppo T m di G r 

 nè sia invariante in G nè contenga sottogruppi invarianti di G. Allora, come 

 si è visto, il gruppo complementare H r è oloedricamente isomorfo a G,-; 

 inoltre esso è transitivo sopra r — m variabili. Inversamente dimostriamo : 



5°. Ogni gruppo EL transitivo sopra r — m varibili, oloedrica- 

 mente isomorfo con un dato gruppo G r , può ottenersi come gruppo com- 

 plementare di G r rispetto ad un suo sottogruppo r m . 

 Se H r è un gruppo transitivo sulle r — m variabili 



U\ U% ... Uf—ni , 



consideriamo un punto generico P 0 = (u r l0) ... u^_ r ) dello spazio S r _ m delle 

 variabili u ed il sottogruppo di stabilità per H r relativo a P 0 ; questo sot- 

 togruppo ha r — (r — m) = m parametri, e si indicherà conK m . Vediamo 

 subito che K m non è invariante in H r , nè contiene sottogruppi invarianti 

 di H,. , poiché ogni trasformazione o di un tale sottogruppo dovrebbe trovarsi 

 ad un tempo in tutti i sottogruppi di stabilità dei punti equivalenti a P, cioè 

 di tutti i punti dello spazio, a causa della transitività di H r ; dunque ff = l. 



Ne segue che il gruppo complementare ^~ ha r parametri come H r 



ed agisce transitivamente sopra r — m variabili. Ma di più è facile vedere 

 che per queste r — m variabili possono prendersi le u stesse, ed il gruppo 



complementare — coincide allora con H?. . E invero due trasformazioni di IL 



sono equivalenti rispetto a K m quando trasportano P 0 nel medesimo punto P, 

 onde per parametri delle oo r_m classi di H, rispetto a K, possiamo pren- 

 dere le coordinate stesse u l ,u 2 — Ur-m di P. D'altronde, moltiplicando a 



