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destra due trasformazioni equivalenti di H per una stessa h, che trasporti 

 P = (uì) in P' = (u'j), si ottengono due trasformazioni equivalenti, che tras- 

 portano P 0 in P'; il gruppo indotto sulle u è dunque il gruppo H r stesso c.d.d. 



Così abbiamo : Ogni gruppo transitivo è il proprio gruppo comple- 

 mentare rispetto al sottogruppo di stabilità di un suo punto generico. 



Ne risulta ora subito la verità della proposizione sopra enunciata; poiché, 

 se H r è oloedricamente isomorfo con Gr r , e r m è il sottogruppo di G r che 

 corrisponde a K m in H r , per la definizione stessa di gruppo complementare 

 si ha 



r = tF~ ■ 



Possiamo riepilogare i risultati ottenuti nel teorema : 



Dato un gruppo G r a r parametri sopra un numero qualunque di 

 variabili, per costruire tutti i gruppi transitivi sopra r — m variabili, 

 oloedricamente isomorfi con G r , basta determinare quei sottogruppi T m 

 di G r ch,e non sono invarianti in G r nè contengono sottogruppi invarianti 



G 



di G r . I gruppi complementari H r = -=^- danno i gruppi richiesti. 



Rimane in fine da decidere la questione se due tali gruppi transitivi 

 sopra r — m variabili, ottenuti come gruppi complementari 



Gr -r-r, G r 



H r = ~ ~ , H r = 



r r 



rispetto a due diversi sottogruppi r m , r' m , siano o no simili. Si osservi 

 per ciò che, supposti Hr , H' r simili, ne segue una corrispondenza d' isomor- 

 fismo oloedrico di G r con sè stesso (automorfismo) tale che a r m corri- 

 sponda r' m . Viceversa, se G> ammette un automorfismo che faccia corrispon- 

 dere a r m il sottogruppo r' m , ne verrà fissata una corrispondenza fra le 

 classi di G rispetto a r e quelle di G rispetto a r\ rappresentata analiti- 

 camente dalle forinole di trasformazione 



u'i = (pi(u x u 2 -.. u r -m) , ì — l , 2 ... r — m ; 

 e questa trasformazione sulle u cangerà appunto H r in H' r . Dunque: 



Due gruppi complementari ~,-^f~ sono simili quando esiste un 



automorfismo di G r che faccia corrispondere -TV a r m . 



4. Proponiamoci ora di calcolare le trasformazioni infinitesime genera- 

 trici del gruppo complementare 



da quelle note di 6 e r. Con ciò verremo a dimostrare che il metodo dato 



