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da Lie per la costruzione dei gruppi transitivi a r parametri con data com- 

 posizione (cuis) non è altro appunto che il processo di costruzione dei gruppi 

 complementari. 



Ma poniamoci senz'altro dal punto di vista adottato da Lie, nel Kap. 27 

 T. Ili, e supponiamo soltanto che siano assegnate le costanti di composi- 

 zione (ciks) dei gruppi a r parametri da costruirsi. Appena date queste co- 

 stanti si può, come Lie e Schur dimostrano, assegnare con sole operazioni 

 algebriche le r trasformazioni infinitesime 



(2) A/, A 2 /-,...A r / 



generatrici di un gruppo H r semplicemente transitivo sopra r variabili 



a\ , a^ ... ay 



colla data composizione (cu ls ). Possiamo allora assumere H r come (primo) 

 gruppo parametrico per tutti i gruppi G r , sopra quante si vogliano variabili, 

 di composizione (c iìiS ). Insieme alle (2) possiamo ancora determinare, con 

 operazioni algebriche, le r trasformazioni infinitesime 



(2*) Ey,B 2 /\...B r /- 



del gruppo II' r reciproco di II r , che si potrà assumere come secondo gruppo 

 parametrico ( 1 ). Essendo G r , H' r oloedricamente isomorfi, i gruppi comple- 

 mentari dell'uno coincidono con quelli dell'altro, e la questione proposta 

 equivale quindi alla seguente: 



Per ogni sottogruppo n' m di H' r , determinare le trasformazioni 



n' r 



infinitesime del gruppo complementare H = . 



Indicando con g a una qualunque trasformazione di G r , corrispondente 

 ai valori a dei parametri, l' equivalenza 



9 a' = 9 a 



rispetto ad un sottogruppo r m , cui corrisponda II' m in 7T r , significa che 

 nello spazio S r = (ai a 2 ... a r ) si passa dal punto (a) al punto (a') con una 

 trasformazione di II' m . Dunque punti equivalenti di S r rispetto a II' m rap- 

 presentano la medesima classe di trasformazioni di G rispetto a T\ queste 

 classi sono perciò rappresentate dalle oo r_m varietà minime invarianti di di- 

 mensione m in S r rispetto a n' m . Ora il moltiplicare le g a destra per una 

 fissa equivale ad eseguire in S r una trasformazione del primo gruppo para- 

 metrico I7 r ; se ne conclude che il gruppo complementare H non è altro che 



(') Conviene ricordare che i due gruppi parametrici U r , n' r di un gruppo Gr asse- 

 gnano il modo come si permutano fra loro le trasformazioni di G r , moltiplicate rispet- 

 tivamente a destra, ovvero a sinistra, per una medesima trasformazione di G r stesso. 



