il gruppo indotto sulle oc'" - ™ varietà invarianti V,„ di II' m dal grappo n r 

 che le scambia imprimitivamente fra loro. 

 Se supponiamo che fra le (2*) siano 



Bi/, ~B<ìf , ... B m / 



le trasformazioni di 27' m , la divisione dello spazio S r nelle oo r -™ varietà Y m 

 è data da 



le c essendo costanti arbitrarie, e le funzioni u di a x a 2 ...a r le r — m so- 

 luzioni del sistema completo 



(3) Bj/ == 0 , B/= 0 ... B r . rn f= 0 . 



Le trasformazioni infinitesime generatrici del gruppo complementare 

 H = — - = r J si calcoleranno adunque come le trasformazioni infinitesime 

 indotte sulle w dalle 



A 1 f,A 2 f... k r f. 



Questo è appunto il processo tenuto da Lie (t. I Kap. 22) ; esso dà per le r 

 trasformazioni infinitesime Uj/, U 2 /\.. U,/ del gruppo H (non necessaria- 

 mente indipendenti) le formolo 



i=i <Wi 



dove è da osservarsi che le k^uì) , a causa delle identità (A ft , B^) = 0 , sono 

 soluzioni del sistema (3), e quindi funzioni delle u stesse. Come poi si pos- 

 sano eseguire tutte le richieste operazioni senza alcun calcolo di integra- 

 zione, è stato dimostrato da Lie, utilizzando i risultati di Schur, nel Kap. 29, 

 Bd. Ili (cf. in particolare pag. 798 ss.). Noi qui ci contenteremo di riassu- 

 merne i risultati nel teorema: Date le costanti di composizione di vai 

 gruppo G r , si possono trovare, senza calcoli d' integrazione, le trasfor- 

 mazioni infinitesime generatrici dei suoi gruppi complementari. 



5. Consideriamo ora il caso particolare importante in cui il sottogruppo 



r m di G r > rispetto al quale si costruisce il gruppo complementare H = — ^ , 



sia invariante in G r . Allora H ha r — m parametri, corrispondendo all'iden- 

 tità in H il sottogruppo r m in G r ; in generale a trasformazioni di G> equi- 

 valenti rispetto a F m (') corrisponde la medesima trasformazione in H e 



(!) Si noti anche che nel caso attuale, essendo T m invariante in G r , non vi è più 

 luogo a distinguere l'equivalenza a sinistra da quella a destra, giacché se g' = yg , si 

 può anche scrivere g' = gy', essendo y' un'altra trasformazione di G. 



