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Dunque: Se r m è invariante in G>, le costanti di composizione del 

 gruppo complementare 



ti Crr 

 ■n r— m — j-, 



coincidono colle (r — ot) 3 costanti di composizione c^s del gruppo primi- 

 tivo G r , per le quali gli indici non superano r — m . 



Dopo ciò è facile rispondere alla domanda: Quando accadrà che il 



Q, 



gruppo complementare H r _ m = risulta Abeliano {cioè di trasforma- 



sioni due a due permutabili)? Per ciò è necessario e sufficiente che tutte 

 le Yfia siano nulle, cioè tali siano le per i valori da 1 a r — m degli 

 indici. Dunque qualunque trasformazione alternata 



si compone unicamente colle 



X r _ w -i-i/ , ... X. r /". 



cioè il gruppo derivato (*) di G r è contenuto in Gr m . Viceversa se r m è un 

 sottogruppo di G r contenente il primo gruppo derivato, esso è invariante 



G 



in G r e il gruppo complementare H,-_ m = —~ è Abeliano. Possiamo dunque 



definire il gruppo derivato nel modo seguente: 77 gruppo derivato di un 

 gruppo G r è quel suo piti piccolo sottogruppo invariante 2, pel quale il 



gruppo complementare -=p risulta Abeliano. 



6. Le considerazioni precedenti bastano già a dimostrare che pei gruppi 

 continui il concetto di gruppo derivato coincide con quello di sottogruppo 

 commutatore, quale fu introdotto dalle ricerche di Dedekind, Frobenius, 

 Miller ecc. nella teoria dei gruppi ordinari. 



Essendo S , T due trasformazioni qualunque di G, chiamiamo trasforma- 

 zioni commutatrici o commutatori di G tutte quelle sue trasformazioni C 

 che hanno la forma 



C = STS- 1 T" 1 , 



appunto perchè avendosi 



ST = CTS, 



la C serve da commutatore per S , T. I commutatori di un gruppo contìnuo G 



(!) È ben noto che le alternate (Xj.X^) sono le generatrici di un sottogruppo inva- 

 riante di G r , che si dice il suo (primo) gruppo derivato. 



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