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(non Abeliano) formeranno una serie continua e, combinandoli fra loro per 

 moltiplicazione, genereranno un sottogruppo r, che dicesi il sottogruppo 

 commutatore di G. Siccome trasformando un commutatore con una qua- 

 lunque trasformazione g di G si ottiene un nuovo commutatore, poiché 



g- '(STS- 1 T" 1 ) g = ( r > Sg) (<?Ì Tg) S^g) ( r » T^g) = S x Ti Sr 1 Tf\ 



vediamo che in ogni caso il sottogruppo commutatore r di G è inva- 

 riante in G. 



G 



Di più diciamo che il gruppo complementare H = — è Abeliano. E 

 infatti se g , g' sono due qualunque trasformazioni di G, si ha 



g'g = cgg', 



il commutatore c appartenendo a T; dunque g'g , gg' sono equivalenti rispetto 

 a -T, e corrispondono quindi alla medesima trasformazione di G. Se adunque 

 poniamo che siano h , K le trasformazioni corrispondenti in H a g , g\ sarà 

 h'h = hti ; H è per ciò Abeliano. 



G 



Viceversa, se 2 è invariante in G, ed il gruppo complementare — è 



Abeliano, il sottogruppo commutatore r sarà contenuto in 2. E infatti, es- 

 sendo ancora g , # r due qualunque trasformazioni di G , si ha, per l' ipotesi 

 fatta : 



g'g = <>gg' , 



essendo e una trasformazione di 2. D'altra parte 



g'g=cgg', 



dove c si può far coincidere con qualunque commutatore. Ne segue che ogni 

 commutatore trovasi in 2 , e r stesso vi è quindi contenuto. Vediamo adunque 

 che il sottogruppo commutatore r di un gruppo G è il minimo sottogruppo 



G 



invariante di G pel quale il gruppo complementare — è Abeliano. Ma questa 



è la proprietà caratteristica del gruppo derivato, onde concludiamo: 



Per un gruppo continuo G r il sottogruppo commutatore coincide 

 col primo gruppo derivato. 



Ne risulta in particolare dimostrata la proposizione di Killing, enun- 

 ciata da Lie a pag. 770, Bd. Ili: Se S,T sono due trasformazioni finite 

 qualunque di G r , la trasformazione STS -1 T _l appartiene al primo gruppo 

 derivato. 



