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Matematica. — Sulla trasformazione delle equazioni diffe- 

 renziali di Hamilton. Nota III del Corrispondente Gr. Morera. 



9. Dalle considerazioni svolte precedentemente (cfr. le due Note sotto 

 lo stesso titolo apparse nei Rendiconti, pag. 113-122 e pag. 149-152 del vo- 

 lume in corso) segue facilmente il teorema: 



La trasformazione di variabili che le equazioni integrali di un si- 

 stema Hamiltoniano definiscono tra i valori iniziali (indeterminati) ed i 

 valori finali delle variabili dipendenti è una trasformazione di contatto 

 quando la variabile indipendente t si considari come un parametro costante. 

 Questa proprietà è caratteristica dei sistemi Hamiltoniani. 



La prima parte del teorema enunciato risulta senz' altro da note pro- 

 posizioni (cfr. la 19 a delle Vorlesungen ùber Dynamik di Jacobi, o meglio: 

 Mayer-Math. Ann. B. Ili, p. 444) : la seconda invece si ha subito osservando 

 che se esiste una trasformazione di contatto che riduce un sistema di 2n 

 equazioni differenziali alla forma risoluta: 



dpt* ^ H *_n n /tt* — fl*(A\ 



[I] ~dT--^ qi * = 0 ' U~^ = 0 ^ ' 



la trasformazione inversa, che è ancora di contatto, non toglie (§ 4) la forma 

 canonica alle equazioni differenziali [I] e per conseguenza il primitivo si- 

 stema è necessariamente Hamiltoniano. 



Inoltre, poiché con una trasformazione di contatto un sistema Hamilto- 

 niano qualsiasi è riducibile alla forma risoluta (cfr. § 4, teor. finale), con- 

 cludiamo di qui la proposizione seguente: 



Non solo ogni trasformazione di contatto, dipendente da t, sulle sole 

 p, q, trasforma un qualunque sistema Hamiltoniano in un altro, ma ogni si- 

 stema Hamiltoniano può essere convertito in un altro qualunque collo stesso 

 numero di variabili mercè una simile trasformazione. 



Questa proposizione risponde direttamente al quesito proposto dal 

 sig. E. 0. Lovett come conclusione alla sua ricordata monografia 



Tutte le equazioni Hamiltoniane contenenti lo stesso numero di varia- 

 bili sono trasformate le ime nelle altre dalle trasformazioni di contatto di- 

 pendenti dal parametro t : queste trasformazioni costituiscono un gruppo tran- 

 sitivo nel senso della teoria dei gruppi di operazioni. 



(!) The problem of determining the forni of the general transformation that shall 

 transform every canonical system into every other canonical system, in the sanie way that 

 a transitive group of points transformation trasforms the points of space, is yet to be solved. 

 (Quarterly Journal of math. Voi. XXX, pag. 149). 



