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Però, come già rilevai al § 7, vi sono anche delle trasformazioni non 

 appartenenti al tipo considerato che trasformano un sistema Hamiltoniano in 

 un altro. Ridotto un sistema Hamiltoniano alla, forma risoluta [I] mercè una 

 trasformazione di contatto, si introduca in luogo delle variabili p*, q* un 

 qualunque sistema di 2n funzioni fra loro indipendenti delle medesime: 

 comunque queste sieno ripartite in coppie di variabili coniugate è manifesto 

 che con tale trasformazione le equazioni differenziali rimangono del tipo [I] 

 quantunque la trasformazione impiegata non sia di contatto. 



10. Pongo termine a queste mie ricerche sulla trasformazione dei sistemi 

 Hamiltoniani, enunciando un altro teorema che apparentemente è più gene- 

 rale di quello enunciato in principio del § 9. 



Le equazioni differenziali di Hamilton hanno come caratteristica la 

 proprietà di ammettere sistemi di integrali che definiscono trasformazioni 

 di contatto, quando la variabile indipendente t si riguardi come un para- 

 metro costante. 



Premettiamo una osservazione. Qualunque trasformazione di contatto tra 

 le variabili: 



(Pi i qò ; (Pi* \ qt*) (e = 1 , 2 ... n) , 

 ossia che rende identica l'equazione: 



X 9i — Y qi* dp* = dSÌ (dt = 0) , 



i i 



si può porre sotto la forma : 



~òd> 7>a> 



ove: a, , « 2 , . . . a v , a^+i • • • «2n indica una qualunque permutazione degli 

 indici 1,2 ... 2»; <t> denota una funzione di n ai . . . 7r av . / av+1 ...#>„; e 

 si è posto: 



m mpì , Xi = qi , 



quando i sia uno dei numeri 1 „ 2 , 3 . . ... n ; 



ni = —pt-n , Xi — qf-n , 



quando l sia uno dei n -j- 1 , n -f- 2 , n -j- 3 , . . . 2n . 

 Infatti l'equazione : 



m 



X<x, 



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