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rica L, rispettivamente con curve dei fasci (c) , (y) , ha luogo la relazione : 



(1) 2{<p — 1) — N = 2m(rc — 1) + 2ii(p — 1) 01 



8. Sia ora L una curva irreducibile, su F, e priva, ivi, di punti mul- 

 tipli ; ó , ó' siano i numeri dei punti di contatto di L con curve dei fasci 

 (<?) i (/) 0) P 61 ' meglio dire, le somme degli ordini di tali contatti. Poiché 

 il genere virtuale <p di L è, in tal caso, anche effettivo ed i fasci (c) , (y) 

 secano su L due involuzioni dei generi n ,j> $ dei gradi m./x, si ha: 



2(y — 1) = ó -f- 2m(n — 1) = ó' + 2fx(p — 1) . 



Laonde il grado virtuale N di L sarà, per la relazione (1) del n. 2: 



(2) N = ó — 2fi{p — 1) = «T — 2m{n — 1). 



4. Sia invece L una curva qualsiasi su F, H una curva irreducibile 

 priva su F di punti multipli e tale (il che si può sempre ottenere) che il 

 sistema completo |L-f-H| sia irreducibile e privo, su F, di punti base 

 multipli. 



Denotando, con <?! , à\ le somme degli ordini dei contatti di H colle c 

 e le y, con <J 2 , ó\ gli analoghi numeri relativi alla curva generica di |L-f- H|, 

 con i il numero d'intersezioni di L con H, porremo: 



d = ò 2 — Ò x — 2i , ó' = ó' 2 — ó\ — 2i. 



Denotando con <p , </>i , (p 2 i generi virtuali di L , H, |H -j- L|; con m , ,u ; 

 Wi , jttx ; m 2 , |tt 2 i numeri d' intersezioni di una c o di una y rispettivamente 

 con L, H e la curva generica di |L-f-H|; con N , Ni , N 2 i gradi virtuali 

 di tali curve, sappiamo che: 



m 2 = m -\- Mi , jit 2 = fi -f- fx 1 , 

 N 2 = N + Ni + 2e , ói = d + d ì -\-2i, 



e, poiché H e la curva generica di | H — f— L | sono irreducibili e prive di 

 punti multipli, e quindi N 1 = <? 1 — 2(i l (p — 1) = J', — 2m l (ri — 1) ed 

 N 2 = S 2 — 2/n 2 (p — 1) = ò\ — 2m 2 {n — 1) , ricavasi subito 



N = 6 — 2fi(p— 1) = <T — 2m{n — 1) , 



ossia la (2) è vera sempre ed i numeri d e d' hanno un significato indipen- 

 dente dalla scelta di H. A tali numeri daremo nome di numeri virtuali 

 dei contatti di L colle c e colle y, ed essi coincidono cogli effettivi quando L 



(*) Vedi la mia Nota citata, n. 8. A proposito delle definizioni di genere e grado 

 virtuale di una curva su una superficie F veggasi la Memoria di Castelnuovo ed Enriques: 

 Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche (Ann. di 

 Mat., t. VI 3 , 1901), ove tali definizioni trovatisi date in modo succinto. 



