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è priva di punti multipli. Per la (1) si ha poi sempre 



2((p — 1) = ó + 2m(rr— 1) = ó' + 2a(p — 1) . 



5. Per ricavare dalla (2) alcune importanti conseguenze, richiamiamo 

 anzitutto il seguente lemma ( l ) : 



Sopra una superficie algebrica qualsiasi, S, il grado virtuale di 

 una curva appartenente totalmente ad un sistema continuo cc r (r.> 1), 

 privo di componenti fisse, di curve algebriche è positivo o nullo e può 

 essere nullo solo nel caso che le curve del sistema si compongano di (ima 

 o più) curve d'uno stesso fascio privo di punti base (in particolare, irra- 

 zionale). 



Partiamo dal fatto evidente che ogni sistema continuo di curve alge- 

 briche sopra una superficie algebrica, è totalmente contenuto in un sistema 

 algebrico (di cui le curve del sistema dato sono curve totali). Perciò, data 

 una curva L 0 del sistema continuo, almeno oo 1 , possiamo sempre conside- 

 rare una serie algebrica oo 1 (L) di curve, contenente totalmente L 0 . Nel- 

 l' ente algebrico oo 1 (L) costruiamo una serie lineare g l m , senza elementi 

 fissi, un cui gruppo sia la curva L 0 , contata m volte; ciò, come è noto, può 

 sempre ottenersi, prendendo m abbastanza alto. Allora le curve composte 

 toL 0 , L. -(- L 2 -f- ■•• -j- L m , .... corrispondenti ai vari gruppi della g l m for- 

 mano una serie oo 1 razionale la quale è, quindi, contenuta totalmente in un 

 sistema lineare ( 2 ). Il grado virtuale di questo può ottenersi in due modi : 

 1° considerando le intersezioni (fisse e variabili) di due curve del sistema: 

 allora, se i è il numero d'intersezioni di due curve L, risulta tale grado 

 eguale ad m 2 i ; 2° considerando il grado virtuale della curva multipla mL 0 ; 

 calcolando tale grado in funzione del grado virtuale N di L 0 , trovasi subito 

 eguale ad ra 2 N. Adunque w 2 ? = ot 2 N, e quindi ?' = N, e, poiché i > 0 

 (perchè il sistema razionale non ha certo componenti fisse) e non è i = 0 

 se non nel caso che le componenti delle L appartengano ad uno stesso fascio, 

 privo di punti base, così in ogni altro caso i ^> 0 . Segue che N>0 e 

 che N può essere 0 solo nel caso che le componenti delle L siano curve di 

 uno stesso fascio, privo di punti base. 



6. Interpretando tale risultato sulla superficie F di cui trattiamo, si 

 ha che: 



Sulla superficie F i cui punti rappresentano le coppie di punti 

 di due curve algebriche C , T , dei generi p , n (p ri ?r > 0) , se una curva 

 algebrica L è contenuta totalmente in un sistema continuo di curve alge- 



( J ) La dimostrazione che ne do mi fu gentilmente comunicata dal prof. Castelnuovo, 

 avendone io trovata un'altra meno semplice. 



( 2 ) Enriques, Una osservazione sulla rappresentazione parametrica delle curve al- 

 gebriche (Kend. del Circ. Mat. di Palermo, t. X, 1896). 



