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biano coppie di punti corrispondenti comuni o che le corrispondenze del 

 sistema si spezzino tulle in corrispondenze parziali formanti un sistema 

 siffatto. 



8. Dal risultato del n. 6 si può ricavare immediatamente un noto ed 

 importante teorema di Schwarz. 



Se C e r sono due curve birazionalmente identiche e di genere p ]> 0, 

 fissiamo una corrispondenza birazionale fra C e r. Ad essa corrisponde sulla 

 superficie F, i cui punti rappresentano le coppie di punti di C e T, una 

 curva algebrica L unisecante le c e le y e perciò irreducibile e di genere 

 effettivo e virtuale eguale a p. Se esistesse un sistema continuo di trasfor- 

 mazioni birazionali di C in sè stessa, e quindi anche di C in r, queste ul- 

 time darebbero luogo, su F, ad un sistema continuo di curve algebriche (di 

 genere p), unisecanti le c e le y, e di genere (virtuale ed effettivo p). Quindi 

 dovrebbe essere (n. 6) 



p — 1 >. 2(p — 1). 



donde p <. 1. Si ricava così il teorema summenzionato: 



Nessuna curva di genere maggiore di 1 può ammettere un gruppo 

 continuo di trasformazioni birazionali in sè. 



Ed inoltre, se p = l, occorre, avendosi l'eguaglianza p — 1 = 2(p — 1), 

 che il sistema sia proprio un fascio (n. 6). Si ricava cosi la nota proposi- 

 zione che le schiere continue di trasformazioni birazionali di una curva 

 ellittica in sè dipendono algebricamente da un parametro e sono tali che, 

 data una coppia di punti corrispondenti (in ordine fissato), viene deter- 

 minata una corrispondenza della schiera. Si potrebbero così ricavare le 

 proprietà di tali schiere ed il loro numero, ma preferiamo tacerne trattan- 

 dosi di cose notissime. 



Dando altro aspetto alla stessa questione, ritrovasi che: 



Se una superficie possiede più di due fasci di curve algebriche uni- 

 secantisij essa è razionale ovvero rappresenta le coppie di punti di due 

 curve ellittiche birazionalmente identiche ; quindi le coordinate dei punti 

 della superficie dipendono birazionalmente o da due parametri o dalle 

 funzioni ellittiche (cogli stessi periodi) pu ,p'u , pv ,p'v di due para- 

 metri u , v ('). 



9. Ed ora ricaveremo dallo stesso risultato (come è espresso nel n. 7) 

 il teorema di Castelnuovo ed Humbert al quale accennammo nella prefazione. 



Sia C una curva di genere p^>0, r una curva birazionalmente iden- 

 tica ad essa [per la quale sia ben fissata la corrispondenza (1,1) con C]. 

 Sia poi I TO un'involuzione irrazionale, digrado m e di genere cp ^> 0, su C. 



(') U. Arnaldi, Determinazione delle superficie algebriche su cui esistono più di 

 due fasci di curve algebriche unisecantisi (Questi Eendiconti, 1902). 



