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e, poiché dev' essere N = à — 2(m — 1) (p — 1), ricavasi ó = (m — 2)J. 

 Cioè : 



Data su una curva C, di genere p, un'involuzione irrazionale (') 

 di genere cp , la corrispondenza (m — 1 , m — 1), da essa definita, fra C 

 ed una curva r equivalente a C , ha come numero virtuale ó di coinci- 

 denze (su C o su r) il numero (m — 2) 4 , ove J è il numero di punti 

 doppi della l m o, più precisamente, J = 2(p — 1) — 2m(<p — 1). 



10. Stabilito questo fatto, la dimostrazione del teorema sulla inesistenza 

 su una curva algebrica di una serie continua d'involuzioni irrazionali si fa 

 subito. 



Se il genere p di 0 è 0, la cosa dipende dal fatto che C non possiede 

 involuzioni irrazionali. Se p = 1 , la cosa si dimostra pure, com' è noto, 

 geometricamente ed in modo elementare ( 2 ). 



Sia dunque p^> 1 e sia T una curva equivalente a C. Ogni involu- 

 zione I TO , di grado m e genere cp ^> 0 , appartenente ad una serie continua 

 di tali involuzioni, determina fra C e r una corrispondenza (m — 1 , m — 1) 

 totalmente contenuta in un sistema continuo di cosiffatte corrispondenze. 

 Supposto anzitutto che le I m non siano tutte composte con ima stessa in- 

 voluzione (certo irrazionale) J r (r divisore di m), tale sistema continuo di 

 corrispondenze è certo privo di componenti fìsse. Denotando con ó il numero 

 virtuale delle coincidenze, su C o su r, di tale corrispondenza, dev' essere 

 d — (m — 2)J, ove 0 ^* J = 2(p — 1) — 2bi(<p — 1). E, poiché la corri- 

 spondenza è contenuta totalmente in un sistema continuo, privo di componenti 

 fisse, dev' essere (n. 7) ó^2(m — l)(p — 1), ossia (m — 2)J ^2(m — l)(p — 1). 

 Essendo p^>l, dev'essere dunque J^>2(p — 1), il che porta la conse- 

 guenza cp<^l, ossia cp = 0, contro l'ipotesi. Il fatto non può dunque pre- 

 sentarsi. 



Abbiamo fatto F ipotesi che le \ m della serie non siano composte colla 

 stessa l r (r divisore di m). Togliendo tale restrizione, sia r il massimo di- 

 visore di m tale che le I m siano composte con una stessa I r . Nell'ente \ r 



fn 



ogni I TO definisce un' involuzione irrazionale, di grado — ; dunque l r è so- 

 stegno di una serie continua d' involuzioni irrazionali, certo non composte 

 con una involuzione fissata. Perciò siamo ricondotti al caso precedente, e 

 neppure tale caso può quindi presentarsi. Cioè: 



(') Si vede però facilmente che la stessa cosa vale se la I m è una serie lineare. 



( 2 ) Castelnuovo, Geometria sulle curve ellittiche (Atti della R. Acc. di Torino, 

 t. XXIV, 1888). Del resto si vedrà che la dimostrazione seguente può generalizzarsi anche 

 alle curve ellittiche [^prendendo ivi corrispondenze (m ,m) invece che (m — l,m — 1)2, 

 profittando del fatto che una tal curva possiede infinite trasformazioni birazionali in sè 

 e che quindi oo 1 involuzioni I m dànno luogo ad co 2 corrispondenze (m , m) fra C e T. 



