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Iu ciò che segue ci riferiremo pertanto continuamente alla Nota citata 

 in principio. 



1. Preliminari. — Le forme differenziali che considereremo sono dello 

 stesso tipo di quelle che risultano formando il differenziale r mo di una fun- 

 zione di n variabili dipendenti, e cioè sono del tipo: 



(1) 



m=\ j, ... j 



dove poniamo, per brevità: 



1 



(2) 



h'"3 m mi 



Sj \_Ìi ... Ì m ~] (Pi Xj l ... (Pm Xj m 



rappresentando con Sj l'operazione del sommare tutti i termini che si otten- 

 gono permutando le j\ ...j m in tutti i modi possibili fra loro. La ó risulta 

 così simmetrica nelle j. 



Per amor di chiarezza ricorderemo che 



1. Le Xj, ...j m sono delle funzioni assegnate delle variabili x x ,x 2 ,...x n , 

 i cui valori sono indipendenti dall'ordine degli indici. Se esse diventano le 

 derivate m me di una funzione, la U diventa il differenziale totale r mo della 

 medesima. 



2. Gli indici j\ ...j m rappresentano una disposizione qualunque con 

 ripetizione dei numeri 1 , 2 , ... n ad m ad m e il sommatorio in (1) deve 

 estendersi a tutte le possibili disposizioni di tale specie. 



3. Gli indici i x ... i m sono m numeri interi positivi "> 1 tali che 



(3) 



h-}-h-\---{-Ìm = r 



e il sommatorio in (2) deve estendersi per tutti i possibili valori degli i 

 soddisfacenti alla (3) ma senza ripetizioni. 



4. Infine il simbolo pi ... i m ~] rappresenta un certo coefficiente nume- 

 rico dipendente dagli indici i x ... i m , il cui valore esplicito lo abbiamo po- 

 tuto calcolare nella predetta Nota, ed è il seguente : se poniamo che fra i 

 numeri i x ... i m ve ne siano q x eguali fra loro, altri q 2 anche eguali fra loro, 

 ma diversi dai precedenti, e così di seguito, si ha: 



(4) O'x ... a'™] = 



(r\(r — i\\(r — i x — i t \ ( 



UH h )( h ) " { 



r t x ■■• lm— 



È bene avvertire che nella predetta Nota questo coefficiente numerico 

 è stato rappresentato colla parentesi rotonda e non colla quadrala, come 

 invece facciamo qui per evitare una confusione che potrebbe prodursi in 

 seguito. Così anche nel medesimo luogo abbiamo scritto un po' diversamente 



