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e mutando nella prima parte del secondo membro m -j- 1 in m, e quindi 

 estendendo il primo dei sommatorii da m = 2 sino ad m — ,u -f- 1 , e stac- 

 cando dagli altri il primo e ultimo termine, cioè quelli nei quali m è eguale 

 ad 1 , o è eguale a ,u -j- 1 , possiamo scrivere : 



\i. / xy xy] 



Paragoniamo i termini di questa formola con quelli di (9) in cui si 

 sia mutato \x in \i -f- 1 . I coefficienti delle medesime derivate della / (fun- 

 zione arbitraria) in ambedue le formole devono coincidere. Osservando che 

 ji...j m rappresentano una disposizione (con ripetizioni) di m dei numeri 

 1,2,... n, che mutandone l'ordine cambia la disposizione ma, essendo (8) 

 simmetrico negli indici superiori, non cambia il valore del corrispondente 



termine in (9), mentre d'altra parte il sommatorio 2- deve estendersi a 



tutte le disposizioni, si ha che il coefficiente di 



~ò m f 



in (9) in cui si sia mutato fi in /* -j- 1 , è, se gli indici j\ ...j m sono tatti 

 diversi : 



ai» m 4t"t) 



... /t'jj.-f-i ! xy 



e se dei medesimi indici ve ne sono q 1 fra loro eguali, q 2 fra loro anche 

 eguali ma diversi dai precedenti, e così di seguito, il medesimo coefficiente 



è lo stesso (11) ma diviso per q x \ q 2 \ 



Il coefficiente della medesima derivata in (10), se 2 <_w <.^t, è in- 

 tanto il risultato che si ottiene dalla parentesi della seconda riga di (10), 

 quando si permutano le j\ ... j m in tutti i modi, ovvero, al solito, tale somma 

 divisa per ! q 2 !... Indicando perciò con Sj m l'operazione di scambiare l' in- 

 l' indice j m con ciascuno degli j\ ...j m , e di sommare gli m risultati otte- 

 nuti, il predetto coefficiente è: 



(12) (m—DlSjn^- l 3 )'" 3 ^ 1 ) +^-^({ 1 ""l m ì 



~t>!/ha-i-i \ 'h ■•. ftp J xy ^J/h^+i \ftl ••• ftp/ xy 



ovvero questo medesimo diviso per £ 2 ! ... se gli j non sono tutti diversi. 



