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 Passiamo ora alla seconda formola. 



Formando il differenziale r mo del prodotto di due funzioni arbitrarie, e 

 applicando alle derivate del prodotto una elementare formola di calcolo, 

 possiamo scrivere: 



( i8) *(M=i i.z .1 (*)v 7 



dove osserviamo che dovendosi effettuare il sommatorio rispetto a tutti i va- 

 lori delle i e j si può applicare, come abbiamo fatto, la formola di Leibnitz 

 alla derivata 



~*òXji ... ~~òXj m ~òXii ... ~I)t£tp_ m . 



spezzando le variabili in due gruppi di m e di q — m in un sol modo e non 

 in tutti i modi possibili, come si dovrebbe fare in altro caso. 

 Intanto si può scrivere: 



(19) dr(f<p)=j L ( r )dPfd'-?Cp = 



p = o \" / 



Se poniamo da parte sia in (18) che in (19) quei termini in cui com- 

 pariscono fattori f o <p non sottoposti a derivazioni, per gli altri termini 

 dobbiamo in (18) estendere i sommatorii nel seguente modo: 



r_ p—i r—l r 



Z ^_ che è eguale a y_ Z 



p=2 »n=l m=l p=m-t-l 



mentre in (19) dobbiamo scrivere: 



r— l p m+r—p r—l r r+m—p 



I I Z che è e g uale * z z z 



#=i m=i p=tfi + i m=i p^m + l p=m 



Facendo allora questi mutamenti in (18) e (19), osservando che i ter- 

 mini trascurati sono fra loro identici in ambo le formole, e paragonando i 

 coefficienti dei medesimi prodotti di derivate di / e y>, nei secondi membri 

 sia di (18) che di (19), si ha la formola notevole: 



r+m-p / \ / „ \ 



(20) y v )ó m . s {r - p) . =( Q ) ó in . . . 



valevole per q^> m , e per qualunque sistema di indici j\ ...j m ii — ip-m • 



