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4. Applicazione di una trasformazione infinitesima al simbolo à. — 

 Sempre in vista di quanto dovremo esporre nelle Note seguenti, stabiliremo 

 ora la formola che dà il risultato dell' applicazione di una trasformazione 

 infinitesima 



(21) *=t^ 



all'espressione è . Stabiliremo per definizione che l'operazione rappresentata 

 dal simbolo 3 sia permutabile con quella rappresentata dal simbolo di dif- 

 ferenziale d , e perciò 



i=i \ cwt/ i=j ft =0 \/t/ òXi 



~òf 



Sostituendo in questa formola per d r f e per d r ~* — — i loro valori, si ha: 



(22) y y y — - — '- — ^óp . + y y — ±J—g#n . = 

 =11 I £.Q >.-- J 



intendendo che per k = r al secondo membro debba intendersi il termine : 



Osserviamo che al secondo membro il termine per k === 0 è esatta- 

 mente la prima delle due parti del primo membro, mentre il termine per 

 k = r, cioè (23) coincide con quello che la seconda parte del secondo 

 membro, dà per m = 1 ; soppressi allora questi termini comuni al primo e 

 secondo membro, mutando nel secondo m in m — 1 , osservando che 



r— i r— 7:-+-l r r— wi-t-1 



I I =1 s 



e ponendo e === / m , si ha : 



Z X - — — — ssp = 



m=% j % ...j m — ~ì>%jm 1 "' m 



r -^mf r-m+1 /„\ 



m=2 —J m '"Jm 7;=l Vv \ m—1 



