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Queste espressioni, nella loro totalità, si riproducono con una trasfor- 

 mazione di variabili, in un senso che sarà visto più sotto, ed è perciò che 

 io, per comodità, le chiamerò simboli a carattere invarianlivo, come ho 

 fatto nel titolo di questa Nota. 



1. Simboli secondari e loro proprietà. — Per procedere con ordine 

 e per maggiore chiarezza e comodità di locuzione distingueremo due cate- 

 gorie di simboli, e cioè quelli che chiameremo principali, e quelli che chia- 

 meremo secondari. 



Nel caso del secondo ordine sono simboli secondari quelli da noi rappre- 

 sentati colle parentesi doppie ((&"/)), e sono principali quelli rappresentati 

 con (i j) , \ij\, )i j h\; questi ultimi poi li distingueremo in due specie, 

 come diremo più sotto. 



In questo paragrafo, come dice il titolo, si tratterà pertanto di estendere 

 per le forme differenziali di ordine qualsiasi, la definizione delle parentesi 

 doppie, che hanno per il nostro caso un' importanza assai maggiore che non 

 per quello del secondo ordine. 



Poniamo in generale: 



(1) ((«! ...ù , ji -jm)) = 



-\m— l "V. . . -\m—\ Y. . . 



0 -O-tl ••• IV Jl <| -A-il ••• I V J2 



-\m—i Y. -\m— 2 Y- ... 

 _j_ £ -"-ii ••• iv jì j2 _£ ••• iv ji js | 



~òtJCj^ ... ~òXjm ~òXjs ~òXji ... "D^jjft 



"T" ( 1/ •'• iì> il jm 



di cui la legge di formazione si riconosce agevolmente ; nella seconda linea 

 ci sono le derivate di ordine m — 1 di tutte le Xj, ... ; v j s (s = 1 , 2 , ... m) 

 rispetto alle x di indici j\ ...j s -i js+i — jm', nella terza compaiono le deri- 

 vate (m — 2) me di tutte le X*, ... i v j s j t rispetto a tutte le x i cui indici 

 sono le j meno j s e j t ; e così di seguito. 



È evidente che il simbolo è simmetrico sia nel gruppo dei primi 

 indici ii ... U j ohe nel gruppo dei secondi j x ...j m . 



Avvertiamo che alle volte per ricordare che è cogli elementi X che si 

 intende calcolato il predetto simbolo, scriveremo ((ii...i , j s ...j m ))*. Inoltre 

 per m — O poniamo ({ti ... ù)) = X it ... iv . 



Si riconosce subito che si ha identicamente: 



(2) ({h ... U , ji -jm)) = -~ ((il ù , /i jm-l)) — ((& - U jm , jl - jm-l)) 



òXj m 



(3) ((*, ... U , ji ...j m )) = ((l'i ù-i , ji - jm)) — ((il h-l , ji - jm ù)) 



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