— 377 — 



Da queste forinole e dalle precedenti appare che i trasformati dei sim- 

 boli secondari si esprimono mediante combinazione lineare degli antichi 

 simboli secondari, e lo stesso fanno per conto loro i nuovi simboli princi- 

 pali mediante gli antichi, ed è in tal senso che bisogna intendere il carat- 

 tere invariantivo della totalità dei simboli, secondari e principali, al quale 

 abbiamo accennato neli' introduzione. 



Servendosi delle precedenti formole di trasformazione, da me comuni- 

 categli, il dott. Sinigallia (*) ha potuto ora dimostrare l' invariantività delle 

 caratteristiche delle matrici costruite con i simboli principali relativi ad 

 una forma differenziale di ordine r, estendendo così un risultato che per il 

 second' ordine io avea trovato in precedenti lavori 



5. Simboli relativi alle forme differenziali di primo ordine e di r mo 

 grado. — Se immaginiamo eguali a zero tutte le X di cui il numero degli 

 indici sia inferiore ad r, che è l'ordine della forma differenziale, questa 

 acquista il tipo di una forma differenziale di primo ordine e di r mo grado, 

 mentre d' altra parte è evidente (vedi le (7) della Nota precedente) che le 

 poste relazioni costituiscono una totalità di relazioni di carattere inva- 

 riantivo. 



I simboli principali, da noi sopra introdotti in generale, diventano in 

 questo caso una più diretta, ma naturalmente meno ampia, estensione di 

 quei simboli che per le forme differenziali quadratiche vanno sotto il nome 

 di Christoffel. E facile riconoscere che i simboli principali che non si annullano 

 identicamente sono allora solo quelli contenenti il massimo numero di indici, 

 cioè r -j- 1 indici se di prima specie, e r indici se di seconda specie. Questi 

 ultimi si riducono eguali rispettivamente ai coefficienti X stessi, mentre gli 

 altri, che vorremo, per analogia colla notazione adottata pei simboli di 



"Zi -jr 



i 



Christoffel, indicare col simbolo 



risultano 



~ìt~X.j l ...j r ~t)Xy 2 ...jr ^^-ijìjs ••• jr "•Jr— 1 



~i*t)Ci "Ì)t2/j2 ~*Òt)Cj r 



Le formole di trasformazione per questi si potrebbero ricavare come 

 caso particolare da quelle del paragrafo precedente. 



Matematica. — Sulle superficie geodetiche in una varietà 

 qualunque e in particolare nelle varietà a tre dimensioni. Nota 

 del Corrispondente G-. Ricci. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



(') Rend. Ist. Lomb. (2), t. 36, 1903. 



