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tali coppie ne otteniamo oo 64 . Però per 38 punti siffatti passano oo 3 C 7 (perchè 

 per 5 di essi passa una conica e le C 7 passanti per 32 dei rimanenti 33 

 passano per tutti i 38 (') e formano un sistema oo 3 ) che danno luogo ad oo 6 

 coppie, cosicché i sistemi 2' in tutto sono oo 58 , quindi l'infinità di quelli 



che passano per 19 punti generici dati è 20 = — ■ ^-^ — — l-\-2s. 



Parimenti per ^=10, 11, 12, 13, 14, 15 è applicabile lo 



stesso metodo e si trova che la base di un sistema 2' è data dall' interse- 

 zione rispettivamente di due C 7 , C 8 , C 9 , C 10 , di una C 10 con una C 12 , di una 



C 11 con una C' 3 , passanti rispettivamente per 5 punti collineari, per 



12 punti di una conica, per 19 di una cubica, per 30 di una quartica, per 



40 di una quintica, per 51 di una sestica e sempre si trova con lo 



stesso procedimento tenuto per n — 9 che l' infinità dei 2' passanti per 



(» + l) (fr + 2)-f 4e .. (a + 1) in + 2) + 4* ' . 0 



■ — v ' ■ punti generici dati e i — ■ — ' ■ 1 + 2«. 



6 o 



Passando al caso di n qualunque, ed applicando il citato metodo del 



. • _„ (n + 1) (n + 2) + 4? 

 Macaulay, sia C""' 1 la minima curva passante per N = - — ■ — ' ■ 



punti semplici formanti la base di un sistema 2' di sovrabbondanza 1 , sì 

 che le C" - " passanti per il gruppo N formino un sistema di dimensione 

 maggiore di zero (come avviene p. e. per n = 9 , 10 , 11 , 12 , 13), per cui 



sarà 



n . k(k+3) . ( n — k) (n — k + 3) ^ (n + D (n + 2) + ie . 

 (1) 2 H 2 > 3 _1 



donde 



(!') ' *(»-A»< <»+ l H' + 2 >- 8 ' . " 



e precisamente k è il massimo valore non superiore ad - che soddisfa questa 

 relazione. 



La base di un sistema 2 si compone di N = i — ■ 



punti che sono l' intersezione di due C" _A ' passanti per N' = (n — k)~ — 

 — (U + l) ^ + 2) + 4f punt . d . Ql+m _ n _ s y = m = n _ ^ ^ Cn _ 5A ._3 _ 

 o 



Dopo ciò procedendo in modo identico a quello tenuto per n = 9 , si può 

 constatare che in virtù delle (1), (V) nessuna delle operazioni geometriche 

 che si presentano offre mai particolarità tali da far modificare in qualche 

 punto le conclusioni cui quel procedimento conduceva per n = 9 , e si trova 



( l ) V. il ragionamento fatto per n = 7. 



