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un' altra rete come quella fissata sopra. Basta perciò osservare che data nel 

 piano una rete (C) di cubiche passanti per 7 punti ed un' altra cubica gene- 

 rica d, il sistema triplo che ne riesce determinato non contiene un'altra 

 rete come la (C). Difatti siccome la C t per ipotesi non passa per alcun punto 

 della base di (C), lo stesso avviene per ogni curva del sistema la quale non 

 appartenga a (C). Ora una qualunque rete del sistema, diversa da (C), è 

 determinata da un fascio di (C) e da una curva C 2 , non appartenente a (C), 

 ed essa non è certo formata da curve passanti per 7 punti fissi perchè questi 

 dovrebbero trovarsi fra i 9 punti base del fascio e perciò dovrebbero fra essi 

 trovarsi anche alcuni dei 7 punti base della (C) (almeno 5), mentre la C 2 

 abbiamo visto che non passa per nessuno di questi. Ne segue che per ogni 

 punto generico di un S 6 7-secante di M non passa alcun altro spazio siffatto, 

 il che vuol dire che gli S 6 7-secanti di M riempiono S 20 per ogni punto 

 generico del quale ne passa uno. Dunque: La forma ternaria quintica 

 generica è rappresentabile J ed in un solo modo, con la somma delle quinte 

 potenze di 7 forme lineari. 



Osserverò, nel chiudere questo scritto, che attualmente si può già preve- 

 dere che l' impossibilità di rappresentare una forma s-aria generica con la 

 somma di potenze di forme lineari contenenti un numero di costanti non 

 inferiore a quello contenuto nella forma considerata, si avrà soltanto in casi 

 particolari. Di questi uno solo mi si è presentato, oltre a quelli già noti, e 

 vale, per la sua importanza, la pena di accennarlo : è quello della quartica 

 quinaria (r = 4 , n = 4 , m = 69) che contiene 70 costanti. Consideriamo 

 in S 69 gli S, 3 14 secanti della M, i quali complessivamente hanno oo ,ci punti. 

 Siccome 14 punti di S 4 vi determinano una quadrica, così i nostri S l3 ap- 

 partengono agli spazi contenenti le varietà di M corrispondenti alle quadri- 

 che di S 4 . Ora nel sistema di tutte le V 3 4 ve ne sono oo 14 che contengono 

 una data Q 3 2 , quindi la dimensione della serie segata dalle V 3 4 in Q 3 2 è 54, 

 il che vuol dire che gli spazi cui appartengono in S 69 le varietà di M corri- 

 spondenti alle quadriche di S 4 sono di dimensioni 54, per cui i nostri S u 

 essendo contenuti in questi, che complessivamente hanno oo 6 « punti, non 

 riempiono S 69 . Ne deriva : La forma quartica quinaria generica non è 

 rappresentabile con la somma delle quarte poterne di 14 forme lineari. 



