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gruenza ^ = cost. , g 2 = cost. sia isotròpa o risulti costituita dalle traiet- 

 torie di un gruppo co 1 di similitudini ('). 



Potremo poi asserire, che, siccome dalla (1) si passa alla (1') collo 

 scambio di * in it , così, se q x = q x (x , y , z) , q 2 = Qz (% , y , $) costitui- 

 scono l' integrale generale di una congruenza equipotenziale, le equazioni 

 Qi — Q\{%,y, it) , Qì = q 2 {x ,y , it) definiscono, indipendentemente dalla 

 condizione di realità, i parametri ^ e £> 2 , dai quali soltanto dipenderanno 

 le vibrazioni trasversali della lamina ( 2 ). 



Operando in tal guisa, risulta immediatamente, che l' equazione dei 



potenziali isotròpi — -\- - — = 0 è anche 1' equazione delle vibrazioni, che 



~òQì I1Q2 



nel caso corrispondente dipendono solo da Qi e q z . 



Nei rimanenti casi abbiamo dovuto iniziare la ricerca dei sottogruppi 

 oo 1 reali del gruppo G 7 delle similitudini nello spazio ds 2 = dx 2 -J- dy 2 — dt 2 , 

 le cui trasformazioni infinitesime sono (usando delle notazioni ben note del 

 Lie) : 



^f==^=P , X 2 / = ^=*| , X 3 /=^ = 5 ,"u/=^-f yp+u\ 

 S,/*== ?/s -1- tp , S 2 / = tp -f xs , S 3 f = xq — yp , 



coli' avvertenza di considerare equivalenti due sottogruppi oo 1 riducibili l'uno 

 all' altro soltanto mediante due trasformazioni di G 7 non involgenti in ufficio 

 scambievole le tre variabili x ,y ,t ( 3 ). 



Scartati inoltre i sottogruppi, le equazioni delle cui traiettorie non risul- 

 tavano indipendenti rispetto alle variabili x , y (condizione, che come apparisce 

 subito, è essenziale), abbiamo trovato di dover ritenere distinti i sottogruppi 

 oo 1 definiti dalle seguenti trasformazioni infinitesime: 



Xyf+cX 3 f (<?4=0) , TJf; 

 %-tM , *U/+S 2 / i s±U/+S 2 /' , ^±U/+S,/; 



nelle quali il parametro c è essenziale, 

 (i) Loc. cit. § 8, pag. 149. 



(*) Se pi e Qz non fossero reali, si potrà sempre sostituire ad essi altri parametri 

 t-'i > q'z , funzioni soltanto di p t e g 2 , i quali risultino reali. 



( 3 ) E ovvia la ragione di questa avvertenza: nel caso attuale infatti la variabile t 

 sta a rappresentarci il tempo, che non si può trattare nello stesso modo come le varia- 

 bili di spazio x e y . 



