— 388 — 



ÌQ^ 4 7)^ 



?1 =(^ + 0 2 + 2y , g 2 = ±(x + ty + y(x + l) + t. 



(X) "dìF fi -i- g2 V ^p i I 1 /o i g2 \ 



— \ sen 2 ìq 2 ì 7)?! 2 ?! 2 T^i 8 pi \ sen 2 z> 2 / ^, — 



1 -. . . T>w 

 — ~ì i cotg t Q t — = 0 , 



?1 i'?2 



(XI) Ow = — 2 + 1— ; — 1 ) — ,H — — =0, 



Ci = \/x- -\-f , p 2 = t + are tg * . 



Notiamo, che per valori particolari della costante, eh' entra in qualcuno 

 dei sottogruppi, potrà essere opportuno sostituire ai parametri q y e q 2 certe 

 loro combinazioni opportunemente scelte, e trasformare l'equazione Ow = 0 

 servendosi di esse, anziché porre quel valore particolare nella equazione 

 corrispondente qw = 0 . Così p. es., se nel caso (VII) per c = Q si scelgono 

 le variabili q x , q 2 date dalle equazioni : 



(>, -H, Q2 2 = x 2 + y 2 — t* , 



anziché quelle date dalle equazioni q x = " ' . q* = x -f- 1 , (che 



ò (x -}- 1) 



si deducono dalle formule generali ponendo c = 0) si trova come equazione 

 delle vibrazioni 



che s'integra immediatamente e porge io == F (^) -[- — F 2 (log|/(>j — ^ 2 )i 



Fi ed F 2 essendo simboli di funzioni arbitrarie. 



4. Per esaurire la questione ci manca da considerare le congruenze di 

 linee di lunghezza nulla nello spazio ds 2 — dx 2 -j- dy 2 -f- dz 2 . 



Questo caso escluso a priori nella Memoria del Levi-Civita non si poteva 

 escludere nel caso attuale, perchè a quelle congruenze corrispondono in gene- 

 rale congruenze reali nello spazio ds 2 = dx 2 -4- dy 2 — di 2 . 



Ci risparmiamo di riportare qui i calcoli eseguiti; solo diremo che, 

 seguendo in questo caso la strada battuta dal Levi-Civita per determinare 



