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Ora questo termine è come quelli della seconda riga della precedente 

 forinola, il cui sommatorio rispetto a v resta perciò da estendersi da v = 1 

 a v —p -{- 1 , ed osservando che allora i termini di tal seconda riga ven- 

 gono a formare X i$ ' p+1) , si ha infine là formolo, sémplicissima ed elegante: 



che contiene come particolare la (1). 



Se ora differenziamo la (5) e teniamo conto di (7) si ottiene una for- 

 inola precisamente come la (5) ma in cui si sia mutato p in p -J- 1 ; ciò 

 dimostra per induzione la (5) stessa, ricordando che essa è vera per p = l. 



Similmente può dimostrarsi la formolo piti generale: 



che per m — 1 dà luogo alla (7) e per p = 0 dà luogo alla (5). 



Le X (s '*", introdotte colla formolo (4), sono covarianti. 



La dimostrazione di ciò si deduce da quanto abbiamo dimostrato nella 

 Nota li, cioè che i simboli ((_/, ... j m , i x ■ . U)) si trasformano come i pro- 

 dotti ~Kj*.°.j m Xi t ...i v . Da ciò risulta che X Cs > p) si trasforma esattamente come 

 il prodotto X (s) X lp \ e quindi, come questo prodotto, è un covariante. 



2. Introduzione di espressioni più generali delle X (s ^' del paragrafo 

 precedente e reiasioni fra esse. — Le espressioni X Cs ^' introdotte nel pa- 

 ragrafo precedente soddisfanno alla relazione (7), e quindi alla (8), e sono, 

 come abbiamo detto, covarianti. Formeremo ora delle espressioni più gene- 

 rali le quali soddisfanno ancora a relazioni come (7) e (8), ma che non 

 sono più covarianti, ma sibbene alcuni di essi sono coefficienti di covarianti. 

 La ragione di questa introduzione sta in ciò, che dovremo fra tali espres- 

 sioni stabilire certe relazioni le quali ci saranno indispensabili per trasfor- 

 mare, secondo un certo intento, il risultato dell'applicazione di una trasfor- 

 mazione infinitesima alla forma differenziale data, argomento di cui tratte- 

 remo nella Nota seguente. 



Poniamo (più generalmente che colle formole (4) e (6)): 



Per s — 0 intenderemo soppresso il sommatorio rispetto ad m , quello 

 rispetto alle j , soppresse le / e la ò U) ; similmente per p = 0 . 

 Quando n = 0 ovvero e === 0 scriveremo rispettivamente : 



(7) 



dX is ' p) = X^ 1 -^ -f- X (s >p + 



(9) X 



X 



(s,p) y (S,f>) 



