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mutato p in p -J- 1 . Tenendo allora conto della (10), possiamo scrivere: 



2) 



-I(-l) 



C) 



2) y(p,2+ft-t-l) 



e se nel secondo sommatorio mutiamo s in s — 1 e indi raccogliamo e ri- 

 duciamo i termini simili, otteniamo precisamente la stessa (12) in cui si 

 sia mutato k in k-\- 1. Analogamente si dimostra la (13). Di queste ultime 

 relazioni avremo bisogno di servirci nella Nota seguente. 



3. Covarianti simultanei di una forma differenziale e di una alle 

 derivate parziali. — Sia ora data una espressione di ordine q lineare nelle 

 derivate parziali di una funzione indeterminata /, come quelle considerate 

 nella Nota inserita nei Rendiconti dell' Istituto Lombardo e citate in principio : 



1 S 



e formiamo: 



(i5) ^> = i Z^., s x^ )0 = 



Ìli Z h,., s is,j\...j m ))àp , 



s-i m=i i,...i s j 1 ...j m 



(16) ^>=Z J* fa ..*x&" 



= 1 I Z Z ^i-u(U\"-Jm,Ìi-Ìs)) àfj ■ 

 s=i «i=l i,»-^ jV-.^ 



Noi faremo vedere che queste formazioni sono covarianti; ma prima 

 di far ciò è necessario discutere sui possibili valori che possono avere i 

 numeri q e fi. 



Se supponiamo che la forma differenziale data sia di ordine r, poniamo 

 che l'ordine q della (14) non superi r; cioè sia q <.r. 



Il numero fi in (15) non può superare r — q, perchè altrimenti in 

 A l t° vi sarebbero, come è facile riconoscere tenendo conto di (9), dei sim- 

 boli secondarii di cui il numero totale degli indici sarebbe q -\- fi cioè 

 maggiore di r, e tali simboli non esistono. Lo stesso è da osservarsi per 

 la (16), avvertendo però che per un J ( i° il numero q non può supporsi, 

 come per un AW, eguale a r, ma essenzialmente minore di r, giacché se 



