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fosse g = r, in vi sarebbero dei simboli secondarti in cui il gruppo 

 dei secondi indici sarebbe formato di r indici, e quindi, non potendo oltre- 

 passare r il numero totale degli indici, il gruppo dei primi indici non po- 

 trebbe comparirvi; ma simboli secondarii di tal natura non banno signifi- 

 cato, mentre l' hanno (sono eguali ai coefficienti medesimi della forma) quelli 

 in cui scomparisca invece il gruppo dei secondi indici. 



La dimostrazione della invariantività delle A e 4 si fa in modo simile 

 a quello tenuto nel paragrafo 2. 



Osserviamo che, come abbiamo già dimostrato nella Nota II, i simboli 

 ((ii ...ìg,ji ... jnò) si trasformano precisamente come i prodotti X^-f, X?r'£» ; 

 sostituendo allora questi prodotti a quei simboli si deduce che AW si tras- 

 forma precisamente come 



Ma questa espressione è il prodotto dell' invariante A già studiato nella 

 Nota inserita nei Rendiconti dell' Istituto Lombardo, per il covariante evi- 

 dente X^, dunque resta provato che AW si muta in sè stesso. E simil- 

 mente si procede per JW: 



Nella predetta Nota abbiamo osservato che A perderebbe la invarian- 

 tività se fosse q maggiore di r; ciò spiega la ragione della limitazione 

 q <. r da noi posta di sopra. 



Collo stesso semplice metodo può dimostrarsi l' invariantività anche di 

 un'altra espressione: sia data un'altra forma alle derivate parziali (di ordine 

 li <. r), con coefficienti £' (che però in particolare potrebbero anche essere 

 eguali ai £), e formiamo: 



Si dimostra come sopra che: Q è un invariante simultaneo della forma 

 differenziale e delle due alle derivate parziali. Per ragioni simili a quelle 

 suesposte deve naturalmente qui supporsi q -J- /x <. r. Perii caso di r = 2, 

 non può quindi essere che al più q = ] , ,u == 1 , e la Sì diventa un inva- 

 riante come quello indicato anche con G nelle forinole (10) dell'altra mia 

 Nota : Sulla teoria invariantiva delle espressioni ai differenziali totali di 

 seeond' ordine, ecc., pubblicata l'anno scorso in questi medesimi Rendiconti ('). 



X Z Z ^i'"U^'h-jm((Ìl-Ìs,jl-jm)) 



s=l m=l ij...<, J^.J, 



(!) (5), t. XI, 1902, 2° sera., pagg. 105-112. 



