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I covarianti L si presenteranno, come vedremo, nello studio dell' ap- 

 plicazione di ima trasformazione infinitesima alla forma differenziale; le 

 quantità in parentesi sia in L che in E hanno una formazione ben chiara; 

 per una L cominciano sempre coi simboli principali di prima specie, e indi 

 procedono, alternandosi, simboli di prima con simboli di seconda specie ; per 

 una E invece si comincia coi simboli di seconda specie e indi si procede 

 alternativamente come sopra. 



Una osservazione è ora di fondamentale importanza per le cose che do- 

 vremo dire in seguito. 



La L ( P' non contiene coefficienti X a più di q indici; quindi essa può 

 anche considerarsi come un covariante di X<P\ mentre non può dirsi lo stesso 

 della E ( P' e delle C C P\ D'P' le quali possono considerarsi come covarianti solo 

 di X C P +1) e delle altre forme di ordine superiore. 



Di qui ne viene che per una X (r> fondamentale, mentre non esistono 

 le C (rt , D (r \ E (r) , esiste invece, la L (r> , ed anzi'è proprio questa che ci si 

 presenterà nel problema cui abbiamo di sopra accennato. 



5. Caso delle forme differenziali di 1° ordine e di r mo grado. — Per 

 completare la ricerca poniamoci infine nelle condizioni del paragrafo 5 della 

 Nota II. Dei covarianti (20) e (21) non restano allora che E 0 " -0 e L Wì , i 

 quali risultano rispettivamente: 



(22) E (r-1) =-2lIf { j% t d£3>_; 



i j 1 



(23) L<« = % k Z | [ì 7 ; '] C-U - 2 C^, | 



di cui il primo è evidente da sè, e il secondo è quello che per r = 2 è 

 stato rilevato colla forinola (15) della Nota: Sulla teoria invariantiva, ecc. 



sopracitata, notando però che il simbolo F^^j ivi adoperato, essendo esat- 

 tamente il simbolo di Christoffel sotto la forma ordinariamente per esso 

 adoperata, si ottiene da quello che noi nella Nota II abbiamo indicato con 



^' 7^^' °^ rec ^ P onen do r=2, moltiplicandolo anche per — ^ . 



